| 2007/04/20(Fri) 15:22:55 編集(投稿者)
f(x)=Σ[n=0〜∞]a[n]cos(nx) と展開できるとすると a[n]∫[-π→π]{(cos(nx))^2}dx=∫[-π→π]{f(x)cos(nx)}dx (A) (i)n≧1のとき f(x)が偶関数であることに注意すると(A)より πa[n]=2∫[0→π]{f(x)cos(nx)}dx (A)' ここで ∫[0→π]{f(x)cos(nx)}dx=∫[0→π/2]{xcos(nx)}dx+∫[π/2→π]{(π-x)cos(nx)}dx =[(x/n)sin(nx)][0→π/2]-(1/n)∫[0→π/2]{sin(nx)}dx +[(1/n)(π-x)sin(nx)][π/2→π]+(1/n)∫[π/2→π]{sin(nx)}dx ={π/(2n)}sin(nπ/2)-(1/n^2){1-cos(nπ/2)} -{π/(2n)}sin(nπ/2)+(1/n^2){cos(nπ/2)-(-1)^n} =(2/n^2)cos(nπ/2)-{1+(-1)^n}/n^2 ∴(A)'より a[n]={4/(πn^2)}cos(nπ/2)-{2/(πn^2)}{1+(-1)^n} ∴lを自然数とすると
(I)nが偶数、つまりn=2lのとき a[n]={4/(π(2l)^2)}cos(lπ)-{2/(π(2l)^2)}{1+(-1)^(2l)} ={4/(π(2l)^2)}(-1)^l-4/(π(2l)^2) ={4/(π(2l)^2)}{(-1)^l-1} (A)' 更にkを自然数として、lについて場合分けすると (1)lが偶数、つまりl=2kのとき (A)'は a[n]=0 (2)lが奇数、つまりl=2k-1のとき (A)'は a[n]=-8/{π{2(2k-1)}^2} =-2/{π(2k-1)^2} (1)(2)から、nをkを用いて表してまとめると n=2・2kのとき a[n]=0 n=2(2k-1)のとき a[n]=-2/{π(2k-1)^2}
(II)nが奇数、つまりn=2l-1のとき a[n]={4/(π(2l-1)^2)}cos(lπ-π/2)-{2/(π(2l-1)^2)}{1+(-1)^(2l-1)} =0
(II)の場合と(I)のn=2・2kの場合はまとめて n≠2(2k-1) の場合ですので、以上より a[n]=-2/{π(2k-1)^2}(n=2(2k-1)のとき) a[n]=0 (n≠2(2k-1)のとき)
(ii)n=0のとき f(x)が偶関数であることに注意すると(A)より 2πa[0]=2∫[0→π]{f(x)}dx ∴a[0]=(1/π)∫[0→π]{f(x)}dx =(1/π){∫[0→π/2]xdx+∫[π/2→π](π-x)dx} =π/4
よって f(x)=π/4+Σ[k=1〜∞]{-2/{π(2k-1)^2}}cos{2(2k-1)x} =π/4-(2/π)Σ[k=1〜∞]{1/(2k-1)^2}cos{(4k-2)x}
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