数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 帰納法 / Page: 0]

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■23987 / inTopicNo.1)

　帰納法

□投稿者/ detour 一般人(26回)-(2007/04/16(Mon) 00:55:42)

【質問】

x>0に対して、2次の行列A(x)、Bを
A(x)=(1行1列が√(1+3x^2) 1行2列が3x 2行1列がx　2行2列が√(1+3x^2))
B=A(1)=(1行1列が2　1行2列が3　2行1列が1　2行2列が2)
と定める。
(1)x>1のとき、0<y<xであってA(x)=A(y)Bを満たす実数yが存在することを示せ。
(2)行列A(x)の各成分が自然数であるとする。このとき、A(x)=B^nとなる自然数nが存在することを示せ。

(1)は解けました。(2)ですが、nについての帰納法だと思うのですが、仮定をどう使えばいいのか分からず、解けません。どうやって解くのか教えてください。よろしくお願いします。

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■23998 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 帰納法

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□投稿者/ ゼロ軍団(121回)-(2007/04/16(Mon) 11:14:42)

2007/04/16(Mon) 11:21:07 編集(投稿者)

A(x)の成分値がすべて自然数なら、x∈N。x=1の時は自明なので、
x>1とします。
問題(1)より、
yが存在して、A(x)B^(-1)=A(y)
B^(-1)は成分が全て整数の行列です。またA(x)が全て自然数なので、
A(y)の成分も全て整数。問題(1)より、0<yなので、y∈Nでなければなりません。
またy<xより、y≦x-1。
よってx∈Nに対し、A(x)=A(y)B, y∈N y≦x-1 を満たすyが存在することが示せました。

これを繰り返すと、あるn∈Nが存在して、
A(x)=A(1)B^(n-1)=B^n
よってA(x)=B^nなるnが存在します。

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■24028 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 帰納法

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□投稿者/ detour 一般人(27回)-(2007/04/17(Tue) 16:03:38)

To ゼロ様

解説ありがとうございました。ですが何かとても難しいことをやっているようで、理解がついていけません。

＞A(x)の成分値がすべて自然数なら、x∈N。x=1の時は自明なので、
x>1とします。
問題(1)より、
yが存在して、A(x)B^(-1)=A(y)
B^(-1)は成分が全て整数の行列です。またA(x)が全て自然数なので、
A(y)の成分も全て整数。問題(1)より、0<yなので、y∈Nでなければなりません。
またy<xより、y≦x-1。
よってx∈Nに対し、A(x)=A(y)B, y∈N y≦x-1 を満たすyが存在することが示せました。

ここまでは何故こんなことをしているのかはわかりませんが、何をやっているのかについては理解できたと思います。

＞これを繰り返すと、あるn∈Nが存在して、
A(x)=A(1)B^(n-1)=B^n
よってA(x)=B^nなるnが存在します。

ここが一番わからないです。何をやっているのか理解できないです。すみませんが、もう少し詳しく解説してはいただけないでしょうか。どうかお願いします。

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■24032 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 帰納法

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□投稿者/ けにい軍団(102回)-(2007/04/17(Tue) 18:35:13)

横から失礼します。

まず、この問題では、数学的帰納法は使用されていないということに注意
してください。ゼロさんの回答における

>よってx∈Nに対し、A(x)=A(y)B, y∈N y≦x-1 を満たすyが存在することが示せました。

を用いると、x[1] = x および A(x[k]) = A(x[k+1]) B を満たす自然数列
x[k] を定義できます。もし x[k] > 1 ならば、問(1)より 0 < x[k+1] < x[k]
が成り立ち、数列 x[k] は単調減少な自然数列となります。したがって

x[k] < x[k-1] ･･･ (i)

を満たす項は有限個しかなく、その最終番号を n と置くことができます。
このとき x[n] = 1 となることが分かります。なぜなら、もし x[n] > 1
と仮定すると、問(1)より 0 < x[n+1] < x[n] が成り立ち、(i) を満たす
項の最終番号が n であることに矛盾するからです。

ゆえに A(x) = A(x[1]) = A(x[2]) B = A(x[3]) B^2 = ... = A(x[n]) B^(n-1)
= A(1) B^(n-1) = B^n となります。

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■24078 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 帰納法

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□投稿者/ detour 一般人(28回)-(2007/04/19(Thu) 02:49:42)

To けにい様

解説をありがとうございました。ずっと悩んでましたが、だんだん理解できてきました。けにい様の解説でのポイントは、x[k]が減少していくこと、x[k]は自然数なのだからどこまで減少できるかというと1まで、という2点なのですね。ここまではようやく理解できました。ただ私の質問問題にこれをどう応用すればいいのかが、うまく表現できず、わかったようでわからない状況です。もう一歩って感じなのですが、もう少しだけ、解説を続けてはいただけないでしょうか。どうかお願いします。

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■24100 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 帰納法

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□投稿者/ けにい軍団(104回)-(2007/04/19(Thu) 19:02:20)

ゼロさんの回答をお借りします。全くそのままなのですが、以下のように
結合したらどうでしょう:

>A(x)の成分値がすべて自然数なら、x∈N。x=1の時は自明なので、
>x>1とします。
>問題(1)より、
>yが存在して、A(x)B^(-1)=A(y)
>B^(-1)は成分が全て整数の行列です。またA(x)が全て自然数なので、
>A(y)の成分も全て整数。問題(1)より、0<yなので、y∈Nでなければなりません。

よって、x > 1 のとき、A(x) の各成分が自然数ならば A(x) = A(y) B を満たす
自然数 y が存在し、A(y) の各成分は再び自然数になることが分かります。
(つまり y の値を改めて x と置きなおせば、上の議論を繰り返し適用できます。)

以上から x[1] = x および A(x[k]) = A(x[k+1]) B を満たす自然数列
>x[k] を定義できます。もし x[k] > 1 ならば、問(1)より 0 < x[k+1] < x[k]
>が成り立ち、数列 x[k] は単調減少な自然数列となります。したがって
>
>x[k] < x[k-1] ･･･ (i)
>
>を満たす項は有限個しかなく、その最終番号を n と置くことができます。
>このとき x[n] = 1 となることが分かります。なぜなら、もし x[n] > 1
>と仮定すると、問(1)より 0 < x[n+1] < x[n] が成り立ち、(i) を満たす
>項の最終番号が n であることに矛盾するからです。
>
>ゆえに A(x) = A(x[1]) = A(x[2]) B = A(x[3]) B^2 = ... = A(x[n]) B^(n-1)
>= A(1) B^(n-1) = B^n となります。

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■24126 / inTopicNo.7)

　Re[1]: 帰納法

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□投稿者/ detour 一般人(29回)-(2007/04/20(Fri) 16:05:45)

To けにい様

今度こそ理解できました。どうもありがとうございました。

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