| 横から失礼します。
まず、この問題では、数学的帰納法は使用されていないということに注意 してください。ゼロさんの回答における
>よってx∈Nに対し、A(x)=A(y)B, y∈N y≦x-1 を満たすyが存在することが示せました。
を用いると、x[1] = x および A(x[k]) = A(x[k+1]) B を満たす自然数列 x[k] を定義できます。もし x[k] > 1 ならば、問(1)より 0 < x[k+1] < x[k] が成り立ち、数列 x[k] は単調減少な自然数列となります。したがって
x[k] < x[k-1] ・・・ (i)
を満たす項は有限個しかなく、その最終番号を n と置くことができます。 このとき x[n] = 1 となることが分かります。なぜなら、もし x[n] > 1 と仮定すると、問(1)より 0 < x[n+1] < x[n] が成り立ち、(i) を満たす 項の最終番号が n であることに矛盾するからです。
ゆえに A(x) = A(x[1]) = A(x[2]) B = A(x[3]) B^2 = ... = A(x[n]) B^(n-1) = A(1) B^(n-1) = B^n となります。
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