数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: ３次方程式について / Page: 0]

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■23984 / inTopicNo.1)

　３次方程式について

▼■

□投稿者/ チェリー一般人(1回)-(2007/04/15(Sun) 22:44:20)

計算がややこしくて挫折してしまいました。問題は、
　　
　　３次方程式　X＾３-13X+K＝0　が異なる3つの整数解を持つような実数Kの値を全て求め、それらに対応する整数解を記せ。
　　
です。どなたか、教えてください!!

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■23985 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ３次方程式について

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□投稿者/ ぺ一般人(1回)-(2007/04/16(Mon) 00:05:57)

■No23984に返信(チェリーさんの記事)
> 計算がややこしくて挫折してしまいました。問題は、
> 　　
> 　　３次方程式　X＾３-13X+K＝0　が異なる3つの整数解を持つような実数Kの値を全て求め、それらに対応する整数解を記せ。
> 　　
> です。どなたか、教えてください!!

極小＜０、極大＞０。

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■23992 / inTopicNo.3)

　Re[1]: ３次方程式について

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□投稿者/ roro 一般人(1回)-(2007/04/16(Mon) 05:04:14)

解と係数の関係を使った場合
　①α＋β＋γ＝0
　②αβ＋βγ＋γα＝－13
　③αβγ＝－k
(α＋β＋γ)^2－2(αβ＋βγ＋γα)から
　　α^2＋β^2＋γ^2＝26
これを満足する整数の組を考える
　5^2＜26＜6^2から、３つの解は絶対値5以下の整数となるので
　　(0，±1，±5)，(±1，±3，±4)
①の条件より
　　(－1，－3，＋4)、(＋1，＋3，－4)
k＝－αβγより
　　k＝－12，＋12

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■23996 / inTopicNo.4)

　Re[2]: ３次方程式について

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□投稿者/ G 一般人(4回)-(2007/04/16(Mon) 11:01:54)

■No23992に返信(roroさんの記事)
> 解と係数の関係を使った場合

　　　　　　補強＋α　致します；
In[3]:=
f1 = -x - y - z;
f2 = x*y + x*z + y*z - -13;
TableForm[SylvesterMatrix2[f1, f2, x]]<--◎「◎
Det[%]
Out[5]//TableForm=
TableForm[{{-1, -y - z}, {y + z, 13 + y*z}}]

Out[6]=-13 + y^2 + y*z + z^2<--終結式です

In[7]:=Solve[13 - y^2 - y*z - z^2 == 0, {y}]

Out[7]={{y -> 1/2*(-z - Sqrt[52 - 3*z^2])},
{y -> 1/2*(-z + Sqrt[52 - 3*z^2])}}
　　　　　　と y∈Zより z∈Z　が　絞られ　{y,z}---->
{{-3, 4}, {-1, 4}, {3, -4}, {1, -4},
{-4, 3}, {1, 3}, {-4, 1}, {3, 1},
{-1, -3}, {4, -3}, {-3, -1}, {4, -1}}
　　　　　　　　　　で k∈Zが求まる

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■23997 / inTopicNo.5)

　Re[2]: ３次方程式について

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□投稿者/ G 一般人(5回)-(2007/04/16(Mon) 11:09:03)

■No23992に返信(roroさんの記事)
> 解と係数の関係を使った場合

補強＋α＋α　致します；
GroebnerBasis[{-x - y - z,
x*y + x*z + y*z - -13, -x*y*z - k},
{x, y, z, k}]<--●「○
{-k + 13*z - z^3, 13 - y^2 - y*z - z^2,
-x - y - z}
In[9]:=
Solve[GroebnerBasis[{-x - y - z,
x*y + x*z + y*z - -13, -x*y*z - k},
{k, x, y, z}] == {0, 0, 0},
{x, y, z, k}]
Out[9]=
{{x -> 1/2*(-z - Sqrt[52 - 3*z^2]),
k -> -z*(-13 + z^2),
y -> 1/2*(-z + Sqrt[52 - 3*z^2])},
{x -> 1/2*(-z + Sqrt[52 - 3*z^2]),
k -> -z*(-13 + z^2),
y -> 1/2*(-z - Sqrt[52 - 3*z^2])}}
　　　　と (x,y,z,k)∈Z^4より (x,y)∈Z^2　が　
　　　　絞られ k∈Z が求まる

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■24000 / inTopicNo.6)

　Re[1]: ３次方程式について

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□投稿者/ G 一般人(6回)-(2007/04/16(Mon) 12:32:18)

■No23984に返信(チェリーさんの記事)
　　
> 　　３次方程式　X＾３-13X+K＝0　が異なる3つの整数解を持つような実数Kの値を全て求め、それらに対応する整数解を記せ。

　　　　　　　　確認　　；
In[228]:=Solve[-(X^3 - 13*X) == -12, X]

Out[228]={{X -> -3}, {X -> -1}, {X -> 4}}

In[229]:=Solve[-(X^3 - 13*X) == 12, X]

Out[229]={{X -> -4}, {X -> 1}, {X -> 3}}

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