数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 四面体の体積 / Page: 0]

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■23903 / inTopicNo.1)

　四面体の体積

□投稿者/ detour 一般人(22回)-(2007/04/11(Wed) 23:58:18)

【質問】

AB=AC=1、BC=xの⊿ABCの3辺BC、CA、ABの中点をそれぞれL、M、Nとし、線分LM、MN、NLを折り目として3頂点A、B、Cが1点Pで重なるように折り曲げ、四面体PLMNを作り、その体積をVとする。xが変化するときのVの最大値を求めよ。

四面体PLMNは、面LMNがLM=LN=1/2でMN=x/2、面PLMがMP=ML=1/2でPL=x/2、面PMNがPM=PN=1/2でMN=x/2、面PNLがNP=NL=1/2でPL=x/2といった、すべての面が二等辺三角形の四面体だと思います。面LMNを底面と見てその面積は、三角形LMN=x√(4-x^2)/16になりました。あとは高さなのですが、この高さの求め方がわかりません。あと四面体はどんなx(x＞0)のときにもあるのでしょうか。つまり四面体の成立条件というものはあるのでしょうか。教えてください。よろしくお願いします。

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■23911 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 四面体の体積

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□投稿者/ X ファミリー(152回)-(2007/04/12(Thu) 12:52:37)

＞＞この高さの求め方がわかりません。
Pから底面である△LMNの内部に下ろした垂線の足をQとすると
△LMNがLM=NLの二等辺三角形であることから、対称性により
LQ⊥MN
そこで、LQの延長線とMNとの交点をRとして
QR=y,PQ=h
と置き、△PQL,△PQNに対して三平方の定理を使うことによりy,hについての
連立方程式を立てます。

>>つまり四面体の成立条件というものはあるのでしょうか。
△LMNの面積、及び上記のhはいずれもxの関数になっています。
これらが正であるようなxの範囲が成立条件に当たります。

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■23919 / inTopicNo.3)

　答えが合わない・・・

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□投稿者/ detour 一般人(23回)-(2007/04/13(Fri) 01:23:28)

To　X様

丁寧な解説をどうもありがとうございました。おかげで高さが求まりました。しかしなぜか何度やっても答えが合わないです。

X様の解説通りに高さを出すと、x√(2-x^2)/√(2)√(4-x^2)になると思います。底面積はx√(4-x^2)/16なので、体積はx^2√(2-x^2)/48√(2)になると思います。微分して増減表を書いてみると、x=2/√(3)で最大値をとることがわかり、その値は√(3)/108になると思ったのですが、答えは√(3)/54になってます。計算間違いはしてないと思うのですが、どこを間違えたのか全然わからないです。

指針のところに”直方体を利用せよ”とあるのに、利用してないのが悪いんでしょうか。でも底面積も高さも求まった（？）のに、直方体なんて全然関係ないと思うんですが。直方体の利用？計算間違え？全然わからないです・・・。

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■23920 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 答えが合わない・・・

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□投稿者/ 通りすがり一般人(1回)-(2007/04/13(Fri) 04:49:32)

すべての面が合同な四面体は、
直方体の、隣り合わない頂点を結んでできる、
という事実があります。

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■23921 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 四面体の体積

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□投稿者/ X ファミリー(153回)-(2007/04/13(Fri) 13:55:17)

通りすがりさんのヒントに従って検算してみましたが、体積は
x^2{√(2-x^2)}/(48√2) (A)
で問題無いようです。
更に、(A)の最大値を計算しましたが、こちらでも
(√3)/108(このときx=2/√3)
と出ました。

解答のほうが間違っているのではないでしょうか？

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■23928 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 四面体の体積

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□投稿者/ ミュー一般人(1回)-(2007/04/13(Fri) 23:00:01)

横レス失礼します。

この問題の答えは√3/108であっています。たぶん同じ問題集だと思いますが、私の問題集に乗っている全く同じ問題の答えも√3/54になっていますが、付属の訂正紙に(誤)√3/54（正）√3/108と書いてあります。 detourさんは訂正紙をもらわなかったのでは？

ついでに私も直方体の利用が全く理解できません。四面体と直方体に関係はあるのですか？どうやって利用するんですか？通りすがりさんかXさん、私にも直方体の利用を詳しく教えてください！！！

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■23936 / inTopicNo.7)

　Re[1]: 四面体の体積

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□投稿者/ detour 一般人(24回)-(2007/04/14(Sat) 02:45:45)

To X様　＆　通りすがり様　＆ミュー様

皆様解答をどうもありがとうございました。

＞付属の訂正紙に(誤)√3/54（正）√3/108

その訂正紙というものは私のには付いてませんでしたね。でも答えがわかってよかったです。

＞すべての面が合同な四面体は、直方体の、隣り合わない頂点を結んでできる、という事実があります。

ここなのですが、よくわかりません。これは暗記しておいて証明抜きで使っていい事実なのでしょうか。それとこの問題にどのように応用したらいいのかもよくわかりません。直方体を用いた解法を、解説してはいただけないでしょうか。よろしくお願いします。

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■23938 / inTopicNo.8)

　Re[2]: 四面体の体積

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□投稿者/ 通りすがり一般人(2回)-(2007/04/14(Sat) 04:55:57)

$2$a = \frac{x}{2 \sqrt{2}},\; b = \frac{\sqrt{2-x^2}}{2 \sqrt{2}}$ とおき、
$2$stu$ 座標空間に点
$2$O(0,0,0),\, D(a,0,0),\, E(a,a,0),\, F(0,a,0),\, G(0,0,b),\,H(a,0,b),\, I(a,a,b),\, J(0,a,b)$
をとれば、
$2$DF=GI=\frac{x}{2},\, DG=DI=FG=FI=\frac{1}{2}$
ですから、四面体 $2$PLMN$ は $2$IDFG$ と合同です。
よって $2$V$ は直方体 $2$ODEF-GHIJ$ の体積 $2$W$ から4つの三角錐
$2$ODFG, EDFI, FDGI, JFGI$ の体積を引いたものになりますが、
これらはいずれも $2$\frac{W}{6}$ ですから、 $2$V=\frac{W}{3}$ が得られます。

すべての面が合同な四面体を「等面四面体」と言いますので、検索してみてください。
また、東大の1996年後期に類題が出題されています。

「等面四面体は、直方体の、隣り合わない頂点を結んでできるから、」
などとあからさまに書かなくても、知らん顔して上のような答案を書くのは
許されるのではないかと思います。
それにしても、「直方体を利用せよ」というヒントは不親切すぎますね。

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■23970 / inTopicNo.9)

　Re[3]: 四面体の体積

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□投稿者/ detour 一般人(25回)-(2007/04/15(Sun) 15:40:51)

To 通りすがり様

詳しい解説をありがとうございました。直方体を利用した解法が理解できました。私の方は計算で辛い思いをさせられたのに、直方体を利用するとずいぶんあっさり解けるんですね。直方体なんて絶対思いつけそうにないので、勉強になりました。

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