数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 最大最小 / Page: 0]

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■23788 / inTopicNo.1)

　最大最小

▼■

□投稿者/ もちけん一般人(1回)-(2007/04/07(Sat) 22:31:09)

x^2+y^2=25のとき

1.x^2-4x+y^2-6y
2.x^2-6x+y
3.x^2-2x+y^2
4.x^2-y^2
5.x±2y

1～5の最大値、最小値をそれぞれ求めよ。

お願いします

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■23790 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 最大最小

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□投稿者/ mo 一般人(1回)-(2007/04/08(Sun) 00:54:31)

http://www.crossroad.jp/cgi-bin/bbs/mathbbs/cbbs.cgi?mode=res&namber=23731&no=0
　　　の手法で瞬時に叶う。　　楽しんで、ご自分でどうぞ　

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■23820 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 最大最小

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□投稿者/ もちけん一般人(3回)-(2007/04/08(Sun) 17:40:54)

5.は解けたのですが、1から4がどうしても出来ません。

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■23829 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 最大最小

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□投稿者/ mo 一般人(2回)-(2007/04/08(Sun) 23:59:20)

■No23820に返信(もちけんさんの記事)
> 5.は解けたのですが、1から4がどうしても出来ません。
解けた5を下の手法で再考すれば　他もこの手法で瞬時に解けてしまいます。

In[149]:=
Clear[f, g, x, y, λ];
f[x_, y_] := x + 2*y;
g[x_, y_] := x^2 + y^2 - 25;
L[x_, y_, λ_] := f[x, y] + λ*g[x, y];
gradf[L[x, y, λ], {x, y, λ}]
c = Solve[gradf[L[x, y, λ], {x, y, λ}] ==
0, {x, y, λ}]
fmax = f[x, y] /. c[[1]]

Out[153]=
{1 + 2*x*λ, 2 + 2*y*λ, -25 + x^2 + y^2}

Out[154]=
{{λ -> -(1/(2*Sqrt[5])), x -> Sqrt[5],
y -> 2*Sqrt[5]}, {λ -> 1/(2*Sqrt[5]),
x -> -Sqrt[5], y -> -2*Sqrt[5]}}

Out[155]=
5*Sqrt[5]

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■23834 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 最大最小

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□投稿者/ もちけん一般人(4回)-(2007/04/09(Mon) 07:33:37)

■No23829に返信(moさんの記事)
> ■No23820に返信(もちけんさんの記事)
>>5.は解けたのですが、1から4がどうしても出来ません。
> 解けた5を下の手法で再考すれば　他もこの手法で瞬時に解けてしまいます。
>
> In[149]:=
> Clear[f, g, x, y, λ];
> f[x_, y_] := x + 2*y;
> g[x_, y_] := x^2 + y^2 - 25;
> L[x_, y_, λ_] := f[x, y] + λ*g[x, y];
> gradf[L[x, y, λ], {x, y, λ}]
> c = Solve[gradf[L[x, y, λ], {x, y, λ}] ==
> 0, {x, y, λ}]
> fmax = f[x, y] /. c[[1]]
>
> Out[153]=
> {1 + 2*x*λ, 2 + 2*y*λ, -25 + x^2 + y^2}
>
> Out[154]=
> {{λ -> -(1/(2*Sqrt[5])), x -> Sqrt[5],
> y -> 2*Sqrt[5]}, {λ -> 1/(2*Sqrt[5]),
> x -> -Sqrt[5], y -> -2*Sqrt[5]}}
>
> Out[155]=
> 5*Sqrt[5]

grad、Sqrtなどの記号に意味が分かりません

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■23835 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 最大最小

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□投稿者/ X 軍団(147回)-(2007/04/09(Mon) 09:42:27)

横から失礼します。
5が解けたということは1文字消去の方法を理解していると判断して、ヒントを。
（順番がバラバラですがご容赦下さい。）

x^2+y^2=25 (A)
とします。

4.
x^2,y^2をそれぞれ一つの文字と考えます。
(A)よりy^2=25-x^2
∴x^2-y^2=x^2-(25-x^2)=2x^2-25
(x^2を消去する方法でも解けます。)

3.
4.と同じ方法でy^2を消去しましょう。

1.
図形的に考えます。
x^2-4x+y^2-6y=k
と置くと
(x-2)^2+(y-3)^2=k+13 (C)
(C)は中心の座標が(2,3)、半径が√(k+13)の円を表しています。
一方、(A)は原点Oが中心の半径5の円を表していますので
(i)(C)が(A)に外接しているとき√(k+13)は最小
(ii)(C)が(A)に内接しているとき√(k+13)は最大
となります。
従って、線分OAの長さをlとすると
(i)のとき
√(k+13)+5=l
∴k=…
(ii)のとき
√(k+13)-5=l
∴k=…

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■23848 / inTopicNo.7)

　Re[1]: 最大最小

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□投稿者/ mo 一般人(3回)-(2007/04/09(Mon) 16:25:23)

■No23788に返信(もちけんさんの記事)
> x^2+y^2=25のとき
>
> 1.x^2-4x+y^2-6y
の最大値、最小値をそれぞれ求めよ。
>
　　　　横　の　双対　縦
縦からも失礼致します（陰的でなく陽的に）
In[120]:=FullSimplify[x^2 - 4*x + y^2 - 6*y /.
{x -> 5*Cos[t], y -> 5*Sin[t]}]

Out[120]=-5*(-5 + 4*Cos[t] + 6*Sin[t])
In[121]:=D[%, t]

Out[121]=-5*(6*Cos[t] - 4*Sin[t])

In[122]:=Solve[% == 0, t]

Out[122]={{t -> -ArcCos[-(2/Sqrt[13])]},
{t -> ArcCos[2/Sqrt[13]]}}

In[118]:=-5*(-5 + 4*Cos[t] + 6*Sin[t]) /.
{t -> -ArcCos[-(2/Sqrt[13])]}

Out[118]=-5*(-5 - 2*Sqrt[13])<--コタエ

In[119]:=-5*(-5 + 4*Cos[t] + 6*Sin[t]) /.
{t -> ArcCos[2/Sqrt[13]]}

Out[119]=-5*(-5 + 2*Sqrt[13])<--こたえ

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■23849 / inTopicNo.8)

　Re[2]: 最大最小

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□投稿者/ mo 一般人(4回)-(2007/04/09(Mon) 16:39:49)

■No23848に返信(moさんの記事)
> ■No23788に返信(もちけんさんの記事)
>>x^2+y^2=25のとき
>>
>>1.x^2-4x+y^2-6y
> の最大値、最小値をそれぞれ求めよ。
>>
> 　　　　横　の　双対　縦
> 縦からも失礼致します（陰的でなく陽的に）

------------------------------------------------
　　矢　f--->grad[f] 張り
┃　の　双対　━
━横から　こそ　失礼致します（陽的　でなく　陰的に！）
In[100]:=
f[x_, y_] := x^2 - 4*x + y^2 - 6*y;
g[x_, y_] := x^2 + y^2 - 25;
L[x_, y_, λ_] := f[x, y] + λ*g[x, y];
gradf[L[x, y, λ], {x, y, λ}]
c = Solve[gradf[L[x, y, λ], {x, y, λ}] ==
0, {x, y, λ}]
fmax = f[x, y] /. c[[1]]

Out[104]=
{-4 + 2*x + 2*x*λ, -6 + 2*y + 2*y*λ,
-25 + x^2 + y^2}

Out[105]=
{{λ -> 1/5*(-5 - Sqrt[13]),
x -> -(10/Sqrt[13]), y -> -(15/Sqrt[13])},
{λ -> 1/5*(-5 + Sqrt[13]),
x -> 10/Sqrt[13], y -> 15/Sqrt[13]}}

Out[106]=
25 + 10*Sqrt[13]<--サイテイですかぁ　否　最高です。

In[116]:=
f[x, y] /. c[[2]]

Out[116]=
25 - 10*Sqrt[13]<--最高ですかぁ　否　最小値です。
--------------
図に (vector場　grad[f])
　grad[f][X],grad[g][X]達を書き込んで
　　　　　　　　読んでください！

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