数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 整数問題 / Page: 0]

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■23633 / inTopicNo.1)

　整数問題

▼■

□投稿者/ detour 一般人(13回)-(2007/04/04(Wed) 08:48:10)

【質問】

nを3以上の整数とする。条件x+y+z=n、x≦y+z、y≦z+x、z≦x+yを満たす正の整数の組(x,y,z)の個数を求めよ。

この問題の解き方が全然わかりません。どなたか解説をどうかお願いします。

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■23654 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 整数問題

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(250回)-(2007/04/04(Wed) 23:06:05)

detourさん，こんばんわ．

> 【質問】
>
> nを3以上の整数とする。条件x+y+z=n、x≦y+z、y≦z+x、z≦x+yを満たす正の整数の組(x,y,z)の個数を求めよ。
>
> この問題の解き方が全然わかりません。どなたか解説をどうかお願いします。

懐かしい（？）大昔の東工大の問題ですね．
この問題は，結局のところ， $2$xyz$ 空間内において，不等式：
$2$ \left\{ \begin{array}{l} x+y+z = n \\ x\leq y+z \\ y\leq z+x \\ z\leq x+y \\ x>0, y>0, z>0 \end{array} \right.$
で表される領域 $2$D$ のうち， $2$x,y,z$ 座標が整数であるような点，すなわち「格子点」の数を求める問題と同等であることは理解できておりますでしょうか？
これが理解できているのであれば，まずは，領域 $2$D$ を平面
$2$ z = k(k>0)$
で切った時の切り口内の格子点の数を求めてみてください．

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■23668 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 整数問題

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□投稿者/ detour 一般人(14回)-(2007/04/05(Thu) 14:15:01)

To　ウルトラマン様

こんにちは。回答をどうもありがとうございました。

”領域Dをz=kで切った時の切り口内の格子点の数を求めてみてください．”の箇所なのですが、何をやろうとしてるのかがよくわからないです。特にkって何のことなんでしょうか？すみませんが、もう少し解説をお願いできないでしょうか？

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■23671 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 整数問題

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□投稿者/ らすかる大御所(630回)-(2007/04/05(Thu) 18:17:53)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

質問未解決のところ失礼かと存じますが、別解です。

n≧5のとき

x+y+z=nを満たす正整数の組の個数は
n個の○の間n-1箇所のうち2箇所に仕切りを入れるのと
同じなので、(n-1)C2個

x＞y+zを満たす正整数の組の個数は
nが偶数のとき
n個の○の間n-1箇所のうち中央より右のn/2-1箇所のうち
2箇所に仕切りを入れるのと同じなので、(n/2-1)C2個
nが奇数のとき、同様に {(n-1)/2}C2個

y＞z+x, z＞x+yを満たす正整数の組の個数も同じなので、求める個数は
nが偶数のとき (n-1)C2-3×(n/2-1)C2=(n+8)(n-2)/8個
nが奇数のとき (n-1)C2-3×{(n-1)/2}C2=(n+1)(n-1)/8個

n=3のときは (x,y,z)=(1,1,1)の1通り
n=4のときは (x,y,z)=(1,1,2)(1,2,1)(2,1,1)の3通り
であり、上記の式にn=3,4を代入すると一致する。

よって答は
nが偶数のとき (n+8)(n-2)/8個
nが奇数のとき (n+1)(n-1)/8個

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■23677 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 整数問題

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(251回)-(2007/04/05(Thu) 19:56:06)

detourさん，こんばんわ．

> こんにちは。回答をどうもありがとうございました。
>
> ”領域Dをz=kで切った時の切り口内の格子点の数を求めてみてください．”の箇所なのですが、何をやろうとしてるのかがよくわからないです。特にkって何のことなんでしょうか？すみませんが、もう少し解説をお願いできないでしょうか？
>

えぇ～と，まず，不等式
$2$ \left\{ \begin{array}{l} x+y+z = n \\ x\leq y+z \\ y\leq z+x \\ z\leq x+y \end{array} \right.$
で表される領域 $2$D$ が $2$xyz$ 空間において，平面の一部を表しているという点につきましては，理解されておりますでしょうか？
この点が理解されているのであれば，あとは，領域 $2$D$ 内の点のうちで， $2$x,y,z$ がすべて整数であるような点（すなわち格子点）の個数を求めればよいことになります．

そこで，格子点を求めるためには，コツがあります．
detourさんは，次のような問題を解いたことがありますでしょうか？
（例題） $2$xy$ 平面内において，不等式
$2$ x+y\leq n \quad x\geq 0, \quad y\geq 0$
で表される領域の格子点の個数を求めよ．

まずは，この例題を解いていただけますでしょうか？

重複組み合わせを利用した解法については，らすかるさんの解答をご参照いただければと思います．

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■23713 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 整数問題

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□投稿者/ detour 一般人(15回)-(2007/04/06(Fri) 16:01:29)

To ウルトラマン様　＆　らすかる様

解説をどうもありがとうございました。一度に二通りの方法で勉強するのは私の頭じゃ無理なので、ウルトラマン様の方を先に考えてます。らすかる様、すみません・・・。

ウルトラマン様の解説中にある、問題の方程式や不等式が平面を表している、ということは知りませんでした。手持ちの教科書や参考書（数Ⅲ？）には記載がないですし、どこかで習った覚えもないし（聞き逃してただけかも・・・）。今も何で？って感じです。

例題についてですが、見たことはありませんが、次のように考えました。一辺の長さがnの正方形を考えると、この正方形の周および内部には(n+1)^2個の整数点があります。例題の整数点の個数は、三角形の領域なので、(n+1)^2の半分に引き過ぎた対角線上の整数点(n+1)/2を加えて、(n+1)^2/2+(n+1)/2=(n+1)(n+2)/2になると思いますが、どうでしょうか。

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■23723 / inTopicNo.7)

　Re[2]: 整数問題

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(255回)-(2007/04/06(Fri) 19:29:44)

detourさん，こんばんわ．

> 例題についてですが、見たことはありませんが、次のように考えました。一辺の長さがnの正方形を考えると、この正方形の周および内部には(n+1)^2個の整数点があります。例題の整数点の個数は、三角形の領域なので、(n+1)^2の半分に引き過ぎた対角線上の整数点(n+1)/2を加えて、(n+1)^2/2+(n+1)/2=(n+1)(n+2)/2になると思いますが、どうでしょうか。

detourさんの解答でもＯＫですが，領域の格子点に関しては，定石の考え方があります．それは，
　　「直線に切って考える」
ということです．この場合ですと，
直線 $2$x=0$ 上には， $2$(0,0),(0,1),\cdots, (0,n)$ と $2$n+1$ 個あり，
直線 $2$x=1$ 上には， $2$(1,0),(1,1),\cdots, (1,n-1)$ と $2$n$ 個あり，
直線 $2$x=2$ 上には， $2$(2,0),(2,1),\cdots, (2,n-2)$ と $2$n-1$ 個あり
・・・（以下同様）・・・
ってな感じです．これを一般的に考えて，直線 $2$x=k(k=0,1,\cdots,n)$ 上に何個あるかと考えると， $2$(k,0),(k,1),\cdots,(k,n-k)$ と $2$n-k+1$ 個ありますから，これを $2$k=0$ から $2$k=n$ まで加え合わせて，
$2$ \sum_{k=0}^{k=n}(n-k+1) \\ =(n+1)+\sum_{k=1}^{n}\{(n+1)-k\} \\ =(n+1)+n(n+1)-\sum_{k=1}^{n}k \\ =(n+1)^{2}-\frac{1}{2}n(n+1) \\ =(n+1)\left\{(n+1)-\frac{1}{2}(n+1)\right\} \\ =\frac{1}{2}(n+1)^{2}$
となります．

この格子点の数を数えるにあたっての
　「直線に切って考える」
という方法に関しては，ご理解いただけましたでしょうか？

ご理解いただけましたら，引き続き本題の説明に移ろうと思います．

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■23743 / inTopicNo.8)

　Re[3]: 整数問題

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□投稿者/ detour 一般人(16回)-(2007/04/07(Sat) 00:46:44)

To ウルトラマン様

こんばんは。「直線に切って考える」については理解できました。こんな解き方もあるんだ～って、あまりに見事で新鮮な驚きがありました（定石なのに・・・）。

本題もこの考え方を応用すると思いz=k（kの意味がわかりました。kはこの場合1からn-2までのすべての場合を表してるんですね）と置くと、

x+y=n-k、x<y+k、y<k+x、k<x+y

となりましたが、ここでまた躓きました。例題の場合はy=kと置くと、軸に平行な直線になりましたが、上の4つの等式と不等式がxyz空間でどういう図形なのかがわからないです。

ウルトラマン様、解説の続きをよろしくお願いします。

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■23744 / inTopicNo.9)

　Re[4]: 整数問題

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□投稿者/ detour 一般人(17回)-(2007/04/07(Sat) 00:54:00)

上記の書き込みに一部間違いがありました。

（誤）　x+y=n-k、x<y+k、y<k+x、k<x+y

（正）　x+y=n-k、x≦y+k、y≦k+x、k≦x+y

　　

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■23746 / inTopicNo.10)

　Re[5]: 整数問題

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(258回)-(2007/04/07(Sat) 01:23:54)

detourさん，こんばんわ．
格子点の問題の考え方は，理解していただけたようですね．

では，本題に戻ります．
$2$ \left\{ \begin{array}{l} x+y+z=n \\ x\leq y+z \\ y\leq z+x \\ z\leq x+y \\ x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0 \end{array} \right.$
を満たす領域 $2$D$ の格子点の個数を求めるために，上の式から $2$z$ を消去して考えます．すると，第1式より，
$2$z = n-x-y$ ……①
ですから，これを第2,3,4,5式に代入して，
$2$ \left\{ \begin{array}{l} x\leq y+(n-x-y) \\ y\leq (n-x-y)+x \\ n-x-y\leq x+y \\ x\geq 0, y\geq 0, n-x-y\geq 0 \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\leq n/2 \\ y\leq n/2 \\ x+y\geq n/2 \\ x\geq 0, y\geq 0, x+y\leq n \end{array} \right.$
$2$\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0\leq x\leq n/2 \\ 0\leq y\leq n/2 \\ n/2\leq x+y\leq n \end{array} \right.$ ……②
ここで，連立不等式②で表される領域の格子点の数を求まれば，①より，その格子点 $2$(x,y)$ に対して， $2$z$ の値は一意的に決まるから，結局のところ，連立不等式②で表される領域の格子点の数を求めればよいことになります．

ここまで来れば，ほとんど，先ほど示した＜例題＞と同じ問題になったかと思います（ただし， $2$n$ が偶数の場合と奇数の場合とで場合わけが必要ですが・・・）．

あとは，＜例題＞と同じように直線 $2$x=k(k=0,1,2,\cdots)$ 上の格子点の数を求めて，それを $2$k$ について足しあげればいいだけなのですが，ご理解いただけましたでしょうか？

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■23827 / inTopicNo.11)

　Re[6]: 整数問題

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□投稿者/ detour 一般人(18回)-(2007/04/08(Sun) 21:48:28)

To ウルトラマン様

こんばんは。連立不等式(2)までは理解できました。連立不等式(2)を(Ⅰ)n=2mの場合と(Ⅱ)n=2m-1の場合に分けると、

(Ⅰ)0≦k≦m、0≦y≦m、m≦x+y≦2mと(Ⅱ)0≦k≦m-1、0≦y≦m-1、m≦x+y≦2m-1

に分かれるところまでは来ました。でも来たんですが、ここでx=kとおくとこの上にはm-k、m-k+1、・・・、2m-kまでのm+1個となってkの式になってくれません。何か考え違いをしてるんですがわかりません。もう少し解説をお願いできないでしょうか？

ところで気になっていたんですが、正の整数と言う場合は0って含まれないですよね？だから1≦x、yとx+y≦n-1になると思うんですけど、これは違いますか？

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■23830 / inTopicNo.12)

　Re[7]: 整数問題

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(261回)-(2007/04/09(Mon) 01:12:37)

detourさん，こんばんわ．

> To ウルトラマン様
>
> こんばんは。連立不等式(2)までは理解できました。連立不等式(2)を(Ⅰ)n=2mの場合と(Ⅱ)n=2m-1の場合に分けると、
>
> (Ⅰ)0≦k≦m、0≦y≦m、m≦x+y≦2mと(Ⅱ)0≦k≦m-1、0≦y≦m-1、m≦x+y≦2m-1
>
> に分かれるところまでは来ました。でも来たんですが、ここでx=kとおくとこの上にはm-k、m-k+1、・・・、2m-kまでのm+1個となってkの式になってくれません。何か考え違いをしてるんですがわかりません。もう少し解説をお願いできないでしょうか？
>
> ところで気になっていたんですが、正の整数と言う場合は0って含まれないですよね？だから1≦x、yとx+y≦n-1になると思うんですけど、これは違いますか？
>

連立不等式②まで理解できたとの旨ですので，あと少しです．
分かりにくければ，連立不等式②を満たす領域を $2$xy$ 平面上へ図示して見ましょう．すると， $2$n$ が偶数，奇数のときで，それぞれ添付に示す図のようになります．

添付の図を参照すれば分かる通り，
$2$n$ が偶数のときは，直線 $2$x=k(k=0,1,2,\cdots, n/2)$ 上の格子点の数は $2$k+1$ 個あります．
また， $2$n$ が奇数のときは，直線 $2$x=k(k=0,1,2,\cdots, n/2-1/2)$ 上の格子点の数は $2$k$ 個あります．

あとは， $2$n$ が偶数の場合と奇数の場合とで，これを $2$k$ について足しあげればよいかと思いますので，ちょっとやって見ていただけますか？

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■23831 / inTopicNo.13)

　Re[8]: 整数問題

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(262回)-(2007/04/09(Mon) 01:13:43)

すみません． $2$n$ が奇数の場合の図が抜けてました．

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■23845 / inTopicNo.14)

　Re[1]: 整数問題

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□投稿者/ detour 一般人(19回)-(2007/04/09(Mon) 14:09:03)

To ウルトラマン様

こんにちは。図まで添えていただきどうもありがとうございました。

偶数の場合について、x=k上の格子点をk=0からk=n/2まで足し合わせると、(n+4)*(n+2)/8になりました。同様に、奇数の場合は(n-1)*(n+1)/8になりました。

奇数の場合は合ってたのですが、偶数の場合はなぜか合いません。計算間違えではないと思うのですが、何を間違えているのかがわかりません。解説をどうかお願いします。

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■23863 / inTopicNo.15)

　Re[2]: 整数問題

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(263回)-(2007/04/10(Tue) 00:18:26)

detourさん，こんばんわ．

> To ウルトラマン様
>
> こんにちは。図まで添えていただきどうもありがとうございました。
>
> 偶数の場合について、x=k上の格子点をk=0からk=n/2まで足し合わせると、(n+4)*(n+2)/8になりました。同様に、奇数の場合は(n-1)*(n+1)/8になりました。
>
> 奇数の場合は合ってたのですが、偶数の場合はなぜか合いません。計算間違えではないと思うのですが、何を間違えているのかがわかりません。解説をどうかお願いします。

ちょっと僕の方で計算してみました．

すると， $2$x=k$ 上の格子点の数は $2$k+1$ 個であるから，これを $2$k=0$ ～ $2$k=n/2$ まで加え合わせて，
$2$ \sum_{k=0}^{n/2}(k+1) \\ =1+\sum_{k=1}^{n/2}(k+1) \\ =1+\frac{n}{2}+\sum_{k=1}^{n/2}k \\ =1+\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\frac{n}{2}\left(\frac{n}{2}+1\right) \\ =\frac{n+2}{2}+\frac{1}{2}\frac{n}{2}\frac{n+2}{2} \\ =\frac{n+2}{2}\left(1+\frac{1}{2}\frac{n}{2}\right) \\ =\frac{n+2}{2}\frac{n+4}{4} \\ =\frac{1}{8}(n+2)(n+4)$

うぅ～ん．僕の答えもdetourさんと同じになりましたね．
ちなみに，detourさんのお手持ちの解答はどうなってますか？

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■23864 / inTopicNo.16)

　Re[3]: 整数問題

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□投稿者/ らすかる大御所(636回)-(2007/04/10(Tue) 01:25:16)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

nが偶数のときは (n+8)(n-2)/8個です。
手計算の他にプログラムも作って確かめましたので、
間違いないと思います。実際、n=4のとき
(x,y,z)=(1,1,2)(1,2,1)(2,1,1)
の3通りしかありませんから、(n+2)(n+4)/8では合いませんね。

# この問題に関しては、格子点で考えるより組合せで考えた方が、考え方も計算も
# 簡単で間違いにくい気がするのですが、私がそう思い込んでいるだけでしょうか…

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■23865 / inTopicNo.17)

　Re[4]: 整数問題

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(264回)-(2007/04/10(Tue) 02:10:01)

らすかるさん，こんばんわ．

> nが偶数のときは (n+8)(n-2)/8個です。
> 手計算の他にプログラムも作って確かめましたので、
> 間違いないと思います。実際、n=4のとき
> (x,y,z)=(1,1,2)(1,2,1)(2,1,1)
> の3通りしかありませんから、(n+2)(n+4)/8では合いませんね。
>

レスありがとうございます．

えぇ～と，らすかるさんの解答：
$2$ \frac{(n+8)(n-2)}{8}$
だとすると， $2$n=2$ のとき， $2$0$ 個になってしまいませんか？

実際， $2$n=2$ のときを全部書き並べて見ると，
$2$ x+y+z=2, x\leq y+z, y\leq x+z, z\leq x+y$
より，
$2$ (x,y,z)=(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)$
の $2$3$ 通りあると思うのですが・・・．

それに対して，僕とdetourさんの解答：
$2$ \frac{1}{8}(n+2)(n+4)$
ですと， $2$n=2$ の場合でも，
$2$ \frac{1}{8}(2+2)(2+4)=3$
通りとなり一致します．

> # この問題に関しては、格子点で考えるより組合せで考えた方が、考え方も計算も
> # 簡単で間違いにくい気がするのですが、私がそう思い込んでいるだけでしょうか…

僕は，昔からですが，組み合わせの考え方が，どぉ～も苦手ですので，格子点で考えてます．
※この問題（東工大の過去問）は，僕が受験生のときに，某予備校の小テストに出てたのを覚えてます．そのときの模範解答も，確か格子点の個数を数える考え方でやってたよぉ～なヽ(*'ё')ノ

また，格子点の考え方を身に付けていると，たとえば，1998年東大前期理系第２問
に示すような：『
$2$n$ を正の整数とする．連立不等式：
$2$ \left\{ \begin{array}{l} x+y+z\leq n \\ -x+y-z\leq n \\ x-y-z\leq n \\ -x-y+z\leq n \end{array} \right.$
を満たす $2$xyz$ 空間の点 $2$P(x,y,z)$ で， $2$x,y,z$ がすべて整数であるようなものの個数を $2$f(n)$ とする．極限：
$2$ \lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n^{3}}$
を求めよ．』
の問題にも応用がきくかなぁ～と思って，格子点で解く解法を示しました．

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■23868 / inTopicNo.18)

　Re[1]: 整数問題

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□投稿者/ detour 一般人(20回)-(2007/04/10(Tue) 07:26:20)

To ウルトラマン様　＆　らすかる様

おはようございます。解答ですが模範解答はなく、答えの数値のみしかありません。それで偶数の場合の答えは、らすかる様の仰る通り、(n+8)*(n-2)/8になっています。

それで気が付いたのですが、x、y、zは正の整数なので、x=kとしたとき、kは0からn/2まででなく、1からn/2までになり、さらにk=n/2のとき、y=0とn/2(z=0になってしまうので)の場合が外れるのではないでしょうか。

実際ウルトラマン様の解答から(0,n/2)と(n/2,0)と(n/2,n/2)の3点を除くと、(n+4)*(n+2)/8-3=(n+8)*(n-2)/8となって答えと一致しました。

ウルトラマン様の考え方が解決したっぽいので、次にらすかる様の考え方を見てみましたが、こちらは正直何をやっているのかが全然わかりませんでした。

「x+y+z=nを満たす正整数の組の個数はn個の○の間n-1箇所のうち2箇所に仕切りを入れるのと同じなので」としていますが、なぜ同じなのかがわからないです。どこから○とか仕切りが出てきたのでしょうか。

それかいきなり「n≧5のとき」としてますが、n≧5もどこから出てきたのですか。3と4の場合が外れてる理由がわかりません。

かなり高度なことをやっているような気がして（私から見て）、ちょっと理解できないです。もう少し説明を加えていただけないでしょうか。どうかお願いします。

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■23871 / inTopicNo.19)

　Re[2]: 整数問題

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□投稿者/ らすかる大御所(637回)-(2007/04/10(Tue) 13:38:38)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2007/04/10(Tue) 16:04:58 編集(投稿者)

＞ウルトラマンさん

detourさんも書かれていますが、x,y,zは「正の整数」ですから、n=2のときは0個ですね。
また、n≧3という条件がありますので、もしn=2で合わなかったとしても関係ないですね。

＞detourさん

○をn個並べて、間2箇所に仕切りを入れ、仕切りで区切られた○の個数を
順にx,y,zとします。
例えばn=7として ○○○○｜○｜○○ のようになれば、これは
(x,y,z)=(4,1,2)ということです。
このようにn個の○に2本の仕切りを入れれば、それに対応して
「x+y+z=nを満たす正整数の組」が決まりますので、「仕切りの入れ方」と
「x+y+z=nを満たす正整数の組」は一対一に対応しますね。
従ってx+y+z=nを満たす正整数の組の個数は(n-1)C2個です。

次に、条件のx≦y+zかつy≦z+xかつz≦x+yですが、この条件を満たす組を
数えるのは大変ですから、条件を満たさない組を考えて全体から引きます。
「x≦y+zかつy≦z+xかつz≦x+y」の否定は
「x＞y+zまたはy＞z+xまたはz＞x+y」ですね。
上の仕切りで考えると考えやすいと思いますが、「x＞y+z」というのは
「xがnの半分より大きい」ということです。
このようになる場合の数は、2本の仕切りを「右半分」に入れる方法の数です。
n=7のとき、仕切りを入れられる箇所は6箇所ありますが、このうち
右3箇所に2本入れれば「x＞y+z」となる場合の数が求められます。
よってn=7の場合は3C2ですが、これを一般のnで考えると
（nが偶数のとき中央に入れてはいけないことに注意して）
偶数のとき (n/2-1)C2個
奇数のとき {(n-1)/2}C2個
となります。
問題がx,y,zに関して対称ですから、「y＞z+x」や「z＞x+y」となる個数も
「x＞y+z」となる個数と同じです。しかも、
「x＞y+z」と「y＞z+x」と「z＞x+y」のうち同時に2つ以上が成り立つことは
ありませんので、「x＞y+z」となる場合の数を単純に3倍すれば
「条件を満たさない個数」が求められます。
よって、
偶数のとき (n-1)C2-3×(n/2-1)C2
奇数のとき (n-1)C2-3×{(n-1)/2}C2
という計算式で求められることになりますね。

さて、先頭にn≧5という条件を付けたのは、実はここまで計算した後です。
例えばn=4のとき、「x＞y+z」となる場合の数を求めるために「右半分に
2本の仕切りを入れる場合の数」を考えると、入れられるのは1箇所だけ
ですから、「1箇所から2箇所選ぶ場合の数」つまり「1C2」という式に
なってしまいます。実際にはこれもうまくいくのですが、「nCr」でn＜rの場合は
通常定義されていませんので、場合分けしておかないと減点される可能性があります。
よってこのように不都合が起こるn＜5の場合は避けて、後で確認する
という形をとったものです。

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■23878 / inTopicNo.20)

　Re[3]: 整数問題

▲　■

□投稿者/ detour 一般人(21回)-(2007/04/10(Tue) 23:03:36)

To らすかる様

とてもよくわかりました。丁寧な解説をどうもありがとうございました。

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