数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 確率 / Page: 0]

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■23440 / inTopicNo.1)

　確率

□投稿者/ マッチ一般人(1回)-(2007/03/30(Fri) 21:29:30)

赤球10個と白球5個の入っている袋から1個の球を取り出し、色を見て袋に戻す。この試行をどちらかの色の球が3回取り出されるまで繰り返すとき、赤球の取り出される回数が1回である確率は？また、赤球の取り出される回数が2回である確率は？

解き方がわかりません。教えてください。

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■23446 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 確率

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□投稿者/ nrn 一般人(30回)-(2007/03/30(Fri) 23:20:44)

2007/03/30(Fri) 23:24:09 編集(投稿者)
2007/03/30(Fri) 23:23:57 編集(投稿者)

赤球をＲ、白球をＷとして表記します。

まず、Ｒが１個だけで終わるパターンを考えると
Ｒ→Ｗ→Ｗ→Ｗ
Ｗ→Ｒ→Ｗ→Ｗ
Ｗ→Ｗ→Ｒ→Ｗ
の３パターンになります。（Ｗ→Ｗ→Ｗ→Ｒは３回目で終了してしまうのでありえません）

ということは、Ｒが１個だけのパターンは試行を４回で終えることがわかります。

（４回試行を行うときの場合の数）＝１５×１５×１５×１５

上記の各パターンの場合の数は

（Ｒ→Ｗ→Ｗ→Ｗ）＝１０×５×５×５
（Ｗ→Ｒ→Ｗ→Ｗ）＝５×１０×５×５
（Ｗ→Ｗ→Ｒ→Ｗ）＝５×５×１０×５

これらの合計は　３×（５×５×５×１０）　とあらわされる。

よって求める確率は

$2$\frac{3 \times 5 \times 5 \times 5 \times 10}{15 \times 15 \times 15 \times 15}=\frac{2}{27}$

となります。

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■23451 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 確率

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□投稿者/ マッチ一般人(2回)-(2007/03/31(Sat) 07:24:17)

お～お。分かりやすいです。では、赤球の取り出される回数が2回である確率は？どなるのですか？

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■23453 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 確率

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□投稿者/ nrn 一般人(31回)-(2007/03/31(Sat) 08:57:19)

Ｒが２個の場合でも、まず同様にパターンを数え上げましょう・・・

と行きたいのですが、そろそろ数え上げが厳しくなってくるので、もう少し理論的に考えて見ましょう。

Ｒが２個で終わるときには、出た玉はＲ２個、Ｗ３個ということになります。
すると、その出るパターンは｛Ｒ，Ｒ，Ｗ，Ｗ，Ｗ｝の５つの順列だけ考えられます。

その並び方は $2$\frac{5!}{2!3!}=10$ 通りだけあります。

ただ求めるべきパターンの数はこれではありません。この順列の中には、途中で終わってしまうパターンも含まれています。たとえば、Ｗ→Ｒ→Ｗ→Ｗ→Ｒなどです。

どのように考えるかというと、Ｗが３個ということは、最後がＷで終わるということなので、｛Ｒ，Ｒ，Ｗ，Ｗ｝→Ｗというパターンを考えます。つまり、Ｒ２個、Ｗ２個の順列です。
その並び方は $2$\frac{4!}{2!2!}=6$ 通りということになります。

※ちなみにすべて列挙すると
（Ｒ→Ｒ→Ｗ→Ｗ→Ｗ），（Ｒ→Ｗ→Ｒ→Ｗ→Ｗ），（Ｒ→Ｗ→Ｗ→Ｒ→Ｗ）
（Ｗ→Ｒ→Ｒ→Ｗ→Ｗ），（Ｗ→Ｒ→Ｗ→Ｒ→Ｗ），（Ｗ→Ｗ→Ｒ→Ｒ→Ｗ）
これを過不足なく捕らえるのはちょっと厳しくなってきますね。。。

各パターンの場合の数は全てＲが２回、Ｗが３回なので $2$10\times10\times5\times5\times5$ 通り。それが６パターンなので $2$6\times(10\times10\times5\times5\times5)$ 通りということになります。

どのパターンも試行は５回なので、全ての場合の数は $2$15\times15\times15\times15\times15$ 通りとなります。

よって求める確率は

$2$\frac{6\times10\times10\times5\times5\times5}{15\times15\times15\times15\times15}=\frac{8}{81}$

となります。

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■23454 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 確率

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□投稿者/ マッチ一般人(3回)-(2007/03/31(Sat) 09:45:03)

納得です。こんなに詳しく書いてくれてありがとうございます。

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