 | ■No2294に返信(楓さんの記事)
> わかりせーーん。お願いします、どうか教えてください。
> 方程式(1/x)+(1/2y)+(1/3z)=4/3…①を満たす正の整数の組(x,y,z)について考える。
> (1)x=1のとき、正の整数y,zの組を全て求めよ。
x=a,2y=b,3z=cとおく。
x=1だから
1/b+1/c=1/3
bc-3(b+c)+9=9
(b-3)(c-3)=9
b,cは自然数だから
(b-3,c-3)=(1,9),(3,3),(9,1)
⇔(b,c)=(4,9),(6,6),(12,4)
しかし,zが自然数だからcは3の倍数となり(12,4)は不適。
従って(b,c)=(4,9),(6,6)⇔(y,z)=(2,3),(3,2)
> (2)xのとりうる範囲を求めよ。
1/a+1/b+1/c=4/3
このとき左辺はa,b,cについて対称式だからa≦b≦cとして議論を進めてよい。
4/3=1/a+1/b+1/c≦1/a+1/a+1/a=3/a
3/4≧a/3
a≦9/4
aは自然数だからa=1,2⇔x=1,2
> (3)方程式①を解け。
(i)x=1のとき(1)より(y,z)=(2,3),(3,2)
(ii)x=2のとき
1/b+1/c=5/6
bc-6/5(b+c)+36/25=36/25
(b-6/5)(c-6/5)=36/25
(5b-6)(5c-6)=36
b,cは自然数だから(b,c)=(2,3)(3,2)
bは2の倍数,cは3の倍数だから(3,2)は不適。
従って(y,z)=(1,1)
(i)(ii)より(x,y,x)=(1,2,3),(1,3,2),(2,1,1)
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