| ■No2294に返信(楓さんの記事) > わかりせーーん。お願いします、どうか教えてください。 > 方程式(1/x)+(1/2y)+(1/3z)=4/3…@を満たす正の整数の組(x,y,z)について考える。 > (1)x=1のとき、正の整数y,zの組を全て求めよ。 x=a,2y=b,3z=cとおく。 x=1だから 1/b+1/c=1/3 bc-3(b+c)+9=9 (b-3)(c-3)=9 b,cは自然数だから (b-3,c-3)=(1,9),(3,3),(9,1) ⇔(b,c)=(4,9),(6,6),(12,4) しかし,zが自然数だからcは3の倍数となり(12,4)は不適。 従って(b,c)=(4,9),(6,6)⇔(y,z)=(2,3),(3,2) > (2)xのとりうる範囲を求めよ。 1/a+1/b+1/c=4/3 このとき左辺はa,b,cについて対称式だからa≦b≦cとして議論を進めてよい。 4/3=1/a+1/b+1/c≦1/a+1/a+1/a=3/a 3/4≧a/3 a≦9/4 aは自然数だからa=1,2⇔x=1,2 > (3)方程式@を解け。 (i)x=1のとき(1)より(y,z)=(2,3),(3,2) (ii)x=2のとき 1/b+1/c=5/6 bc-6/5(b+c)+36/25=36/25 (b-6/5)(c-6/5)=36/25 (5b-6)(5c-6)=36 b,cは自然数だから(b,c)=(2,3)(3,2) bは2の倍数,cは3の倍数だから(3,2)は不適。 従って(y,z)=(1,1)
(i)(ii)より(x,y,x)=(1,2,3),(1,3,2),(2,1,1)
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