数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 重積分3題です / Page: 0]

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■22870 / inTopicNo.1)

　重積分3題です

□投稿者/ ouo 一般人(16回)-(2007/03/13(Tue) 22:42:57)

2007/03/13(Tue) 22:50:57 編集(投稿者)

3題ですが、よろしくお願いいたします。

$2$x^2$ + $2$y^2$ + $2$z^2$ ≦1, x+y+z≧1で囲まれた体積を求めよ。
↓
問題集にある解法： $2$\frac{x}{sqrt3}$ + $2$\frac{y}{sqrt3}$ + $2$\frac{z}{sqrt3}$ = $2$\frac{1}{sqrt3}$ として、
$2$\displaystyle\int_{\frac{1}{sqrt3}}^1 {\left( {\pi (1-t^2)} \right)dt}$
としているのですが、なぜこの解き方になるのかわかりません。
tがいきなり使われているのでさっぱりです。
恐らく回転体の体積を求めているみたいですが、なぜいきなりそれが出てきたのか説明が無いので、わかりません。

この問題の解法の意味と、別の解法があればお願いいたします。
また、このままでは不安なので、ax+by+cz≧dの範囲ではどうなるのでしょうか。

2つ目です。
$2$(x-2a)^2$ + $2$y^2$ ≦ $2$a^2$ , |x|+|z|≦1で囲まれた部分の体積を求めよ。
ただし、0<3a≦1とする。
↓
こちらは、恐らく 0<3a≦1を使って、x-1≦z≦1-x と出るようですが、
どのように計算すれば、そのzの範囲が出るのかわかりません。
(かなり基礎的かもしれませんがお願いいたします。)

3つ目です。
$2$x^2$ + $2$y^2$ =zが2 $2$x^2$ + $2$y^2$ = $2$a^2$ で切り取られる曲面を描け。
zを鉛直方向にとった場合に、水の入る量を求めよ。ただし表面張力は考えないものとする。
↓
問題集の解法では、
求める体積、 $2$\frac{\pi a^2}{2}$ * $2$\frac{a^2}{2}$ - $2$\frac{\pi a^4}{8}$ にて、
$2$\frac{\pi a^4}{8}$ のほうしか計算されていません。
( $2$\displaystyle\int_{0}^{2\pi } \displaystyle\int_0^{\frac{a}{sqrt2}} {\left( {r^3} \right)drd\theta }$ )

こちらの $2$\frac{\pi a^2}{2}$ * $2$\frac{a^2}{2}$ は、どこから出てきたのでしょうか。
またこのままでは不安なので、a $2$x^2$ +b $2$y^2$ = $2$c^2$ の範囲ではどうなるでしょうか。

どうかご教授お願いいたします。

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■22894 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 重積分3題です

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□投稿者/ ゼロ付き人(91回)-(2007/03/14(Wed) 15:09:41)

1つ目です。恐らく解答に示されている計算が一番簡単なのではないかと思います。
x+y+z≧1は(1,1,1)に垂直で,(x,y,z)=(1/3,1/3,1/3)を通る平面です。
一方x^2+y^2+z^2≦1は半径1の球の内部です。

適当に回転させ、(1/3,1/3,1/3)を(0,0,1/√3)に持ってきます。平面がxy平面に
平行になるようにします。

すると、求めるのはz=1/√3より上の球の体積です。
tはzと思えば良いでしょう。

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■22896 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 重積分3題です

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□投稿者/ けにい一般人(44回)-(2007/03/14(Wed) 16:14:59)

2007/03/14(Wed) 19:51:22 編集(投稿者)

2. まず、xz 平面で |x| + |z| ≦ 1 の形を描いてみると、正方形を 45°
回転させた形になり、これが y 軸方向にびゅーっと伸びた柱になります。
一方、xy 平面で a = 1/3, 1/6, 1/12 の場合で円 $2$(x-2a)^2+y^2=a^2$ を
描いてみてください。そうすれば、原点から円 $2$(x-\frac{2}{3})^2+y^2=\left(\frac{1}{3}\right)^2$
へ二接線を引いた、とんがり帽子のような領域になります。この領域に
おいて z は x - 1 ≦ z ≦ 1 - x と簡単な関数ですから体積は
$2$V = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}} \displaystyle\int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}^{\frac{1}{\sqrt{3}}x} (2-2x)\,dy\,dx + \displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1 \displaystyle\int_{-\sqrt{\frac{1}{9}-(x-\frac{2}{3})^2}} ^{\sqrt{\frac{1}{9}-(x-\frac{2}{3})^2}} (2-2x)\,dy\,dx$
から出るはずです。

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■22905 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 重積分3題です

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□投稿者/ ouo 一般人(17回)-(2007/03/14(Wed) 19:01:14)

ゼロさん、けにいさん、返信ありがとうございます。

＞ゼロさん
図形をちょっと回転させるんですね。
では、ax+by+cz≧dの場合は、ax+by+cz=dと考えて、

交点( $2$\frac{ad}{a^2+b^2+c^2}$ , $2$\frac{bd}{a^2+b^2+c^2}$ , $2$\frac{cd}{a^2+b^2+c^2}$ )

で、平面を、xy平面と平行になるように図形を動かして・・・。

わかりました。どうもです。

＞けにいさん
なるほど、、z=1+xや、z=-1-xの領域は、円柱に触れてないですね。
どうもありがとうございます。

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