| ■22703 / inTopicNo.2) |
Re[1]: 分かりません。
|
□投稿者/ ウルトラマン ベテラン(231回)-(2007/03/09(Fri) 01:00:44)
 | risaさん，こんばんわ．
> f(x)=acosx+bsinxとおく。 実数a,bが条件∫f(x)^2dx≦１ （範囲0からπ）を満たすように動く時、積分I＝∫xf(x)dx （範囲0からπ） の最大値最小値を求めよ。
^{2}dx%5cleq%201%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{%5cpi}(a%5ccos%20%20%20x+%5cb%5csin%20%20%20x)^{2}dx%20%5cleq%201%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{%5cpi}(a^{2}%5ccos%20%20^{2}x+2ab%5ccos%20%20%20x%5csin%20%20%20x+b^{2}%5csin%20%20^{2}x)dx%20%5cleq%201%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{%5cpi}%5cleft(a^{2}%5cfrac{1+%5ccos%20%20%202x}{2}+ab%5csin%20%20%202x%20+%20b^{2}%5cfrac{1-%5ccos%20%20%202x}{2}%5cright)dx%20%5cleq%201%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20%5cleft[%5cfrac{1}{2}(a^{2}+b^{2})x+%5cfrac{1}{4}(a^{2}-b^{2})%5csin%20%20%202x-%5cfrac{1}{2}ab%5ccos%20%20%202x%5cright]_{0}^{%5cpi}%5cleq%201%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20%5cfrac{1}{2}(a^{2}+b^{2})%5cpi%20%5cleq%201%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20a^{2}+b^{2}%5cleq%20%5cfrac{2}{%5cpi}
)
この条件の下で，
dx%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{%5cpi}x(a%5ccos%20%20%20x+b%5csin%20%20%20x)dx%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{%5cpi}x(a%5csin%20%20%20x-b%5ccos%20%20%20x)'dx%20%5c%5c
=[x(a%5csin%20%20%20x-b%5ccos%20%20%20x)]_{0}^{%5cpi}-%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{%5cpi}(a%5csin%20%20%20x-b%5ccos%20%20%20x)dx%20%5c%5c
=b%5cpi-[-a%5ccos%20%20%20x-b%5csin%20%20%20x]_{0}^{%5cpi}%20%5c%5c
=b%5cpi-2a
)
のとりえる値の範囲を求めればよいから，
直線 と円板 が共有点を持つ条件から，
}{%5cpi}}
)
となり，最大値は
}{%5cpi}}
)
最小値は
}{%5cpi}}
)
|
|
