数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 簡単な微分方程式 / Page: 0]

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■22342 / inTopicNo.1)

　簡単な微分方程式

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□投稿者/ digi 軍団(109回)-(2007/02/24(Sat) 01:48:38)

$2$\sqrt{1+x}\frac{dy}{dx}=\sqrt{1+y}$
この微分方程式は一般解のほかに、特異解y=-1を持つそうなのですが、それはどこから判断できるのでしょうか？

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■22343 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 簡単な微分方程式

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□投稿者/ ウルトラマンベテラン(224回)-(2007/02/24(Sat) 02:01:08)

digiさん，こんばんわ．

> $2$\sqrt{1+x}\frac{dy}{dx}=\sqrt{1+y}$
> この微分方程式は一般解のほかに、特異解y=-1を持つそうなのですが、それはどこから判断できるのでしょうか？

$2$ \sqrt{1+x}\frac{dy}{dx}=\sqrt{1+y}$
は変数分離形の微分方程式ですが，変数分離して，
$2$ \frac{1}{\sqrt{1+y}}dy = \sqrt{1+x}dx$
とするためには，
$2$ 1+y \ne 0$
となる必要がありますよね．では，
$2$ 1+ y = 0\Longleftrightarrow y = -1$
の場合はどうなのかというと，
$2$ y = -1$
という解も確かに微分方程式を満たします．

上記のような流れから，特異解 $2$y=-1$ を持つということが分かります．

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■22396 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 簡単な微分方程式

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□投稿者/ digi 軍団(112回)-(2007/02/26(Mon) 15:57:21)

変数分離したら、
$2$\frac{dy}{\sqrt{1+y}}=\frac{dx}{\sqrt{1+x}}$
ではないでしょうか？

変数を分離するときに、 $2$y\neq-1$ だけでなく $2$x\neq-1$ である必要があると思いますが、xについては「x=-1のとき～」とかは書かなくていいですよね？

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