数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 面積 / Page: 0]

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■22139 / inTopicNo.1)

　面積

□投稿者/ ぷう一般人(1回)-(2007/02/18(Sun) 23:25:58)

Oを原点とする座標平面上のｘ軸の正の部分に動点P,ｙ軸の正の部分に動点Qがあり、PとQは⊿OPQ=1を満たすように動くものとする。このとき、OからPQに下ろした垂線の足をHとして、次の問いに答えよ。

（１）∠POH=θとして、OHの長さをθで表せ。
（２）Hの軌跡に原点Oを加えて得られる曲線をCとする。Cが囲む部分の面積を求めよ。

ご教授願います。

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■22140 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 面積

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマンベテラン(217回)-(2007/02/18(Sun) 23:43:19)

ぷうさん，こんばんわ．
> Oを原点とする座標平面上のｘ軸の正の部分に動点P,ｙ軸の正の部分に動点Qがあり、PとQは⊿OPQ=1を満たすように動くものとする。このとき、OからPQに下ろした垂線の足をHとして、次の問いに答えよ。
>
> （１）∠POH=θとして、OHの長さをθで表せ。
> （２）Hの軌跡に原点Oを加えて得られる曲線をCとする。Cが囲む部分の面積を求めよ。
>

(1)
$2$\triangle{OPH}$ に注目すると， $2$OP\cos \theta = OH$ より，
$2$OP=\frac{OH}{\cos \theta}$ ……①
$2$\triangle{OQH}$ に注目すると， $2$OQ\sin \theta = OH$ より，
$2$OQ=\frac{OH}{\sin \theta}$ ……②
①②を
$2$ \triangle{OPQ}=1$
に代入して，
$2$ \frac{OH}{\cos \theta}\cdot \frac{OH}{\sin \theta} = 1 \\ \Longleftrightarrow OH = \sqrt{\sin \theta\cos \theta}$
となります．
(2)
$2$H$ が描く図形の極方程式は
$2$ r = \sqrt{\sin \theta\cos \theta}\quad (0\leq\theta\leq \pi/2)$
であるから，求める面積は
$2$ S = \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{2}r^{2}d\theta \\ =\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin \theta\cos \theta d\theta \\ =\frac{1}{4}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin 2\theta d\theta \\ =\frac{1}{8}[-\cos 2\theta ]_{0}^{\pi/2} \\ =\frac{1}{4}$
となります．

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