 | やまともさん，こんばんわ．
> ２つの関数f(x),g(x)は次の条件を満たしている。
> １．f(x)は全ての実数ｘに対して、正の値をとる連続関数である。
> ２．g(x)=∫[0→ｘ]f(t)dt
> ３．{f(x)}^2-{g(x)}^2=1
>
> (1)F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)-g(x)とおくとき、F(x)が満たす微分方程式をつくれ。
%5c}^{2}-%5c{g(x)%5c}^{2}%20=%201%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20%5c{f(x)+g(x)%5c}%5c{f(x)-g(x)%5c}%20=%201
%5cLongleftrightarrow%20F(x)G(x)%20=%201
)
%20=%20%5cfrac{1}{F(x)}) ……①
また，
%20=%20%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{x}f(t)dt) ……②
の両辺を で微分すると，
%20=%20f(x)) ……③
③に，
+g(x)%20=%20F(x),%20f(x)-g(x)=G(x)%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20f(x)%20=%20%5cfrac{F(x)+G(x)}{2},%20g(x)=%5cfrac{F(x)-G(x)}{2}
)
を代入して，
-G'(x)}{2}%20=%20%5cfrac{F(x)+G(x)}{2})
-G'(x)=F(x)+G(x)) ……④
①を④へ代入して，
-%5cfrac{d}{dx}%5cleft(%5cfrac{1}{F(x)}%5cright)=F(x)+%5cfrac{1}{F(x)}%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20F'(x)+%5cfrac{F'(x)}{%5c{F(x)%5c}^{2}}=F(x)+%5cfrac{1}{F(x)}%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20F'(x)%5cfrac{%5c{F(x)%5c}^{2}+1}{%5c{F(x)%5c}^{2}}%20=%20%5cfrac{%5c{F(x)%5c}^{2}+1}{F(x)}%20%5c%5c
F'(x)%20=%20F(x)
)
また，②より，=0) であり，これを
%5c}^{2}-%5c{g(x)%5c}^{2}=1
)
で と置いた式
%5c}^{2}-%5c{g(0)%5c}^{2}=1
)
に代入し，>0) を用いると，=1) が分かるから，
=f(0)+g(0)=1
)
よって，) の満たす微分方程式は
%20=%20F(x),%5cquad%20F(0)=1
)
> (2)f(x),g(x)を求めよ。
(1)の微分方程式を解くと，
%20=%20e^{x}
)
であるから，これを①へ代入して，
%20=%20e^{-x}
)
となり，
%20=%20%5cfrac{1}{2}%5cleft(F(x)+G(x)%5cright)%20=%20%5cfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}%20%5c%5c
g(x)%20=%20%5cfrac{1}{2}%5cleft(F(x)-G(x)%5cright)%20=%20%5cfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}
)
と求めることができます．
>
> どなたか教えてください。
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