数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 積分に関する問題 / Page: 0]

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■21567 / inTopicNo.1)

　積分に関する問題

□投稿者/ 数一般人(11回)-(2007/02/04(Sun) 08:02:15)

積分に関する演習問題です。３次式などを積分を通して求めるのがわからないので、お願いします！

$2$f(t)$ は３次式で、 $2$\cos 3x=f(\cos x)$ がすべての実数 $2$x$ について成立するものとする。次の問に答えよ。

(1) $2$f(t)$ を求めよ。

(2) $2$m,n$ は整数で、 $2$m$ ≠± $2$n$ とする。このとき
$2$\displaystyle\int_0^\pi {\left( {\cos mx\cos nx} \right)dx}=0$
　　となることを示せ。

(3) 積分
$2$\displaystyle\int_0^1 {\left{ {f(t)}\right}^2sqrt{1-t^2}dt}$
を求めよ。

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■21571 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分に関する問題

▲▼■

□投稿者/ ken 一般人(26回)-(2007/02/04(Sun) 13:36:26)

■No21567に返信(数さんの記事)
> 積分に関する演習問題です。３次式などを積分を通して求めるのがわからないので、お願いします！
>
> $2$f(t)$ は３次式で、 $2$\cos 3x=f(\cos x)$ がすべての実数 $2$x$ について成立するものとする。次の問に答えよ。
>
> (1) $2$f(t)$ を求めよ。
>
> (2) $2$m,n$ は整数で、 $2$m$ ≠± $2$n$ とする。このとき
> $2$\displaystyle\int_0^\pi {\left( {\cos mx\cos nx} \right)dx}=0$
> 　　となることを示せ。
>
> (3) 積分
> $2$\displaystyle\int_0^1 {\left{ {f(t)}\right}^2sqrt{1-t^2}dt}$
> を求めよ。

こんにちわ☆
ひとまず、１，２だけ･･･
$2$(1)$
$2$\cos {3x}=4\cos ^3x-3\cos x=f(\cos x)$
∴ $2$f(t)=4t^3-3t$

$2$(2)$
積和変換より、
$2$\cos mx\cos nx=\frac{\cos (m+n)x+\cos (m-n)x}{2}$
$2$\displaystyle\int_0^\pi {\left( {\cos mx\cos nx} \right)dx}=\displaystyle\int_0^\pi {\left( {\frac{\cos (m+n)x+\cos (m-n)x}{2}} \right)dx}$
$2$=\left[ {\frac{\sin (m+n)x}{2(m+n)} + \frac{\sin (m-n)x}{2(m-n)}} \right]_0^\pi=0$

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■21573 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分に関する問題

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□投稿者/ 数一般人(13回)-(2007/02/04(Sun) 14:02:26)

こんにちはkenさん！ありがとうございます、助かりました！
一応、確認のために・・
（１）は三倍角の公式を利用するということで、
（２）は積和変換ができるかどうかということですね？
ありがとうございます！

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■21604 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 積分に関する問題

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□投稿者/ ken 一般人(29回)-(2007/02/05(Mon) 19:42:12)

2007/02/05(Mon) 20:25:54 編集(投稿者)

■No21573に返信(数さんの記事)
> こんにちはkenさん！ありがとうございます、助かりました！
> 一応、確認のために・・
> （１）は三倍角の公式を利用するということで、
> （２）は積和変換ができるかどうかということですね？
> ありがとうございます！

こんばんわ☆

そうですね．その通りです♪

(３)
$2$t=\sin \theta$ と置くと

(与式)

$2$=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} {\left( {-\sin 3\theta}\right)^2\cos \theta \cos \theta dx}$

$2$=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} {\left( {\sin 3\theta}\right)^2\cos ^2\theta dx}$

$2$=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} {\left( {\frac{1-\cos 6\theta}{2}}\right) (\frac{1+\cos 2\theta}{2}) dx}$

$2$=\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} {\left( {1+\cos 2\theta -\cos 6\theta -\cos 6\theta \cos 2\theta}\right) dx}$

$2$=\frac{1}{4}\left[ {\theta +\frac{\sin 2\theta}{2} +\frac{\sin 6\theta}{6} + \frac{\sin 8\theta}{16} + \frac{\sin 4\theta}{8} } \right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{8}$

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