数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 積分の演習問題 / Page: 0]

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■21546 / inTopicNo.1)

　積分の演習問題

□投稿者/ 数一般人(10回)-(2007/02/02(Fri) 21:57:23)

積分の演習問題なのですが、ｎという数をどのようにして扱えばいいのかがわかりません。以下の問題なのですが、お願いします、助けてください。

$2$n$ を１より大きい自然数とし、対数はすべて自然対数とする。

(1) $2$\displaystyle\int_P^1 {\left( {-\log x} \right)dx}$ 　を求めよ。 $2$(P=\frac{1}{n})$

(2) $2$0 < n-1+\sum\limits_{k = 1}^n {\log (k/n)}<\log n$ を示せ。

(3) $2$\lim\limits_{n \to \infty }\frac{\log (n!)}{(n+1)\log (n+1)}$ を求めよ。

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■21547 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分の演習問題

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマンファミリー(186回)-(2007/02/03(Sat) 00:14:42)

数さん，こんばんわ．

> 積分の演習問題なのですが、ｎという数をどのようにして扱えばいいのかがわかりません。以下の問題なのですが、お願いします、助けてください。
>
> $2$n$ を１より大きい自然数とし、対数はすべて自然対数とする。
>
> (1) $2$\displaystyle\int_P^1 {\left( {-\log x} \right)dx}$ 　を求めよ。 $2$(P=\frac{1}{n})$

これは地道に計算しましょう．
$2$ \displaystyle\int_{P}^{1}(-\log x)dx \\ =[-x\log x+x]_{P}^{1} \\ =1+P\log P-P \\ =1+(1/n)\log (1/n)-(1/n)$

>
> (2) $2$0 < n-1+\sum\limits_{k = 1}^n {\log (k/n)}<\log n$ を示せ。

$2$(k/n)\leq x\leq (k+1)/n(k=1,2,\cdots, n-1)$ において，
$2$ -\log \left(\frac{k}{n}\right) \geq -\log x \geq -\log \left(\frac{k+1}{n}\right)$
であるから，
$2$ - \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}\log \left(\frac{k}{n}\right)dx > \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}(-\log x)dx > - \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}\log \left(\frac{k+1}{n}\right)dx \\ \Longleftrightarrow - \frac{1}{n}\log \left(\frac{k}{n}\right) > \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}(-\log x)dx > - \frac{1}{n}\log \left(\frac{k+1}{n}\right)$
この不等式で $2$k=1$ ～ $2$n-1$ までの和をとると，
$2$ - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\log \left(\frac{k}{n}\right) > \sum_{k=1}^{n-1}\displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}(-\log x)dx > - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\log \left(\frac{k+1}{n}\right) \\ \Longleftrightarrow - \frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}\log \left(\frac{k}{n}\right)-\log (n/n)\right) > \displaystyle\int_{1/n}^{1}(-\log x)dx > - \frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}\log \left(\frac{k}{n}\right)-\log (1/n)\right) \\ \Longleftrightarrow -\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}\log \left(\frac{k}{n}\right)-\log (1/n)\right) < 1+(1/n)\log (1/n)-(1/n) < -\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}\log \left(\frac{k}{n}\right)-\log (n/n)\right) \\ \Longleftrightarrow \sum_{k=1}^{n}\log \left(\frac{k}{n}\right)-\log (1/n) > -n-\log (1/n)+1 > \sum_{k=1}^{n}\log \left(\frac{k}{n}\right)-\log (n/n) \\ \Longleftrightarrow \sum_{k=1}^{n}\log \left(\frac{k}{n}\right) + \log n > -n+\log n+1 > \sum_{k=1}^{n}\log \left(\frac{k}{n}\right) \\ \Longleftrightarrow 0 < n-1+\sum_{k=1}^{n}\log \left(\frac{k}{n}\right) < \log n$

>
> (3) $2$\lim\limits_{n \to \infty }\frac{\log (n!)}{(n+1)\log (n+1)}$ を求めよ。
>

(2)の結果より，
$2$ 0 < n-1+\sum_{k=1}^{n}(\log k-\log n) < \log n \\ \Longleftrightarrow 0 < n-1+\sum_{k=1}^{n}\log k-n\log n < \log n \\ \Longleftrightarrow 1-n-\log n < \sum_{k=1}^{n}\log k < (n+1)\log n+1-n \\ \Longleftrightarrow 1-n-\log n < \log (n!) < (n+1)\log n + (1-n) \\ \Longleftrightarrow \frac{1-n-\log n}{(n+1)\log (n+1)} < \frac{\log (n!)}{(n+1)\log (n+1)} < \frac{(n+1)\log n+(1-n)}{(n+1)\log (n+1)}$
あとは，はさみうちの原理を使えばいいです．

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■21570 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分の演習問題

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□投稿者/ 数一般人(12回)-(2007/02/04(Sun) 09:48:11)

ウルトラマンさん、詳しい回答ありがとうございます！本当に助かります。返信が遅れてしまって申し訳ないです。。。

ここでいくつか問題に関する質問があるのですがいいでしょうか？

1. （２）で、一番初めに　 $2$(k/n)\leq x\leq (k+1)/n(k=1,2,\cdots, n-1)$ 　とおいてますが、これはどのようにしてでてきたのですか？

2．(2)で回答の２行目
$2$ -\log \left(\frac{k}{n}\right) \geq -\log x \geq -\log \left(\frac{k+1}{n}\right)$
から、３行目の
$2$ - \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}\log \left(\frac{k}{n}\right)dx > \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}(-\log x)dx > - \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}\log \left(\frac{k+1}{n}\right)dx$
になる過程がわからないのですが、これはどうなっているのでしょうか？積分範囲も、どのようにして k/n → (k+1)/n にしたのですか？また、記号が≧から＞になる仕組みがわかりません・・・

3. （２）で、
$2$ - \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}\log \left(\frac{k}{n}\right)dx > \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}(-\log x)dx > - \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}\log \left(\frac{k+1}{n}\right)dx \\ \Longleftrightarrow - \frac{1}{n}\log \left(\frac{k}{n}\right) > \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}(-\log x)dx > - \frac{1}{n}\log \left(\frac{k+1}{n}\right)$
とありますが、定積分のところはどのようにして-1/nになったのですか？また、真ん中だけは定積分の記号のままに残しておくというのはどのようにしてわかるのですか？

4.
$2$- \frac{1}{n}\log \left(\frac{k}{n}\right) > \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}(-\log x)dx > - \frac{1}{n}\log \left(\frac{k+1}{n}\right)$
　　の不等式でk=1～n-1までの和を取るとありますが、どのようにしてその範囲の和を取ると決定したのですか？

5.
$2$ - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\log \left(\frac{k}{n}\right) > \sum_{k=1}^{n-1}\displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}(-\log x)dx > - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\log \left(\frac{k+1}{n}\right) \\ \Longleftrightarrow - \frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}\log \left(\frac{k}{n}\right)-\log (n/n)\right) > \displaystyle\int_{1/n}^{1}(-\log x)dx > - \frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}\log \left(\frac{k}{n}\right)-\log (1/n)\right)$
とありますが、この式変形はどのようにして行われたのですか？一方的な質問ばっかりでごめんなさい・・・

6. 最後の質問です。（３）で
$2$0 < n-1+\sum_{k=1}^{n}\log k-n\log n < \log n \\ \Longleftrightarrow 1-n-\log n < \sum_{k=1}^{n}\log k < (n+1)\log n+1-n$
とありますが、２行目で左辺に-lognとありますが、１行目で言う真ん中の式の-nlognを移行したのであれば２行目の左辺の-lognのところは+nlognとなるのではないですか？間違っていたらごめんなさい・・・　また、そのあとはさみうちの原理を利用して解くとありますが、どのように解いていけばいいのでしょうか・・・？

本当に質問だらけでごめんなさい・・・！明日までには終わらせなければいけないので、お願いします！！！本当に時間をとらせてしまって申し訳ないです・・・

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■21580 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 積分の演習問題

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□投稿者/ ウルトラマンファミリー(187回)-(2007/02/04(Sun) 20:09:58)

数さん，こんばんわ．

一個ずつ，地道に理解していきましょう．

> ウルトラマンさん、詳しい回答ありがとうございます！本当に助かります。返信が遅れてしまって申し訳ないです。。。
>
> ここでいくつか問題に関する質問があるのですがいいでしょうか？
>
> 1. （２）で、一番初めに　 $2$(k/n)\leq x\leq (k+1)/n(k=1,2,\cdots, n-1)$ 　とおいてますが、これはどのようにしてでてきたのですか？

(1)において，積分区間が $2$1/n$ ～ $2$1$ となっておりますので，この積分区間を $2$(n-1)$ 等分しております．

>
> 2．(2)で回答の２行目
> $2$ -\log \left(\frac{k}{n}\right) \geq -\log x \geq -\log \left(\frac{k+1}{n}\right)$
> から、３行目の
> $2$ - \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}\log \left(\frac{k}{n}\right)dx > \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}(-\log x)dx > - \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}\log \left(\frac{k+1}{n}\right)dx$
> になる過程がわからないのですが、これはどうなっているのでしょうか？積分範囲も、どのようにして k/n → (k+1)/n にしたのですか？また、記号が≧から＞になる仕組みがわかりません・・・

これは，区間 $2$a\leq x\leq b$ において，不等式： $2$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ が成立しているとき，
$2$ \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx \leq \displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx \leq \displaystyle\int_{a}^{b}h(x)dx$
（ただし，等号は区間 $2$a\leq b$ において，恒等的に $2$f(x)=g(x)=h(x)$ が成立するときに成立する）
を利用しています．

>
> 3. （２）で、
> $2$ - \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}\log \left(\frac{k}{n}\right)dx > \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}(-\log x)dx > - \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}\log \left(\frac{k+1}{n}\right)dx \\ \Longleftrightarrow - \frac{1}{n}\log \left(\frac{k}{n}\right) > \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}(-\log x)dx > - \frac{1}{n}\log \left(\frac{k+1}{n}\right)$
> とありますが、定積分のところはどのようにして-1/nになったのですか？

$2$ \log \left(\frac{k}{n}\right)$
は $2$x$ に依存しない定数値関数ですよね？したがって，この部分は $2$x$ の積分の外に出て，
$2$ \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}\log \left(\frac{k}{n}\right)dx \\ =\log \left(\frac{k}{n}\right)\displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}dx \\ =\log \left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n}$
となります．

>また、真ん中だけは定積分の記号のままに残しておくというのはどのようにして
>わかるのですか？

あとあと真ん中だけは，(1)に合わせて， $2$1/n$ ～ $2$1$ の積分にするためにこのようなことをしてます．

>
>
> 4.
> $2$- \frac{1}{n}\log \left(\frac{k}{n}\right) > \displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}(-\log x)dx > - \frac{1}{n}\log \left(\frac{k+1}{n}\right)$
> 　　の不等式でk=1～n-1までの和を取るとありますが、どのようにしてその範囲の和を取ると決定したのですか？

真ん中の積分を $2$x=1/n$ ～ $2$x=1$ までの積分にするために， $2$k=1$ ～ $2$n-1$ までの和をとるようにしてます．

>
>
> 5.
> $2$ - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\log \left(\frac{k}{n}\right) > \sum_{k=1}^{n-1}\displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}(-\log x)dx > - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\log \left(\frac{k+1}{n}\right) \\ \Longleftrightarrow - \frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}\log \left(\frac{k}{n}\right)-\log (n/n)\right) > \displaystyle\int_{1/n}^{1}(-\log x)dx > - \frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}\log \left(\frac{k}{n}\right)-\log (1/n)\right)$
> とありますが、この式変形はどのようにして行われたのですか？一方的な質問ばっかりでごめんなさい・・・

一番左側は，
$2$ \sum_{k=1}^{n-1}\log \left(\frac{k}{n}\right) \\ =\sum_{k=1}^{n}\log \left(\frac{k}{n}\right) - \log \left(\frac{n}{n}\right)$
のように計算してます．

真ん中は，
$2$ \sum_{k=1}^{n-1}\displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}f(x)dx \\ =\displaystyle\int_{1/n}^{2/n}f(x)dx + \displaystyle\int_{2/n}^{3/n}f(x)dx + \cdots + \displaystyle\int_{(n-1)/n}^{n/n}f(x)dx \\ =\displaystyle\int_{1/n}^{n/n}f(x)dx$
のように計算してます．

>
> 6. 最後の質問です。（３）で
> $2$0 < n-1+\sum_{k=1}^{n}\log k-n\log n < \log n \\ \Longleftrightarrow 1-n-\log n < \sum_{k=1}^{n}\log k < (n+1)\log n+1-n$
> とありますが、２行目で左辺に-lognとありますが、１行目で言う真ん中の式の-nlognを移行したのであれば２行目の左辺の-lognのところは+nlognとなるのではないですか？

すみません．
ここは計算ミスしてます．
正しくは，
$2$ 1-n+n\log n< \sum_{k=1}^{n}\log k < (n+1)\log n+1-n$
となります．

>間違っていたらごめんなさい・・・　また、そのあとはさみうちの原理を利用し
>て解くとありますが、どのように解いていけばいいのでしょうか・・・？

不等式の一番左側と一番右側の $2$n\to\infty$ での極限値を求めるだけです．

>
> 本当に質問だらけでごめんなさい・・・！明日までには終わらせなければいけないので、お願いします！！！本当に時間をとらせてしまって申し訳ないです・・・

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■21582 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 積分の演習問題

▲▼■

□投稿者/ 数一般人(15回)-(2007/02/04(Sun) 21:24:55)

ウルトラマンさん、ありがとうございます！
無事理解することができました。本当に助かりました！

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