数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 数Ⅲ / Page: 0]

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■21374 / inTopicNo.1)

　数Ⅲ

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□投稿者/ マーブル一般人(5回)-(2007/01/27(Sat) 23:33:52)

この問題解ける方おねがいします。できれば早い方がいいです。
連続関数f(x)に対して
F(x)=-x/2+∫[x→0]tf(x-t)dtとおく。
またF``(x)=cosxとする。
(1)f(x),F(x)を求めよ。

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■21375 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数Ⅲ

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□投稿者/ ウルトラマンファミリー(162回)-(2007/01/27(Sat) 23:51:08)

マーブルさん，こんばんわ．

> この問題解ける方おねがいします。できれば早い方がいいです。
> 連続関数f(x)に対して
> F(x)=-x/2+∫[x→0]tf(x-t)dtとおく。
> またF``(x)=cosxとする。
> (1)f(x),F(x)を求めよ。
>

↑の問題は，
------------------------------------------------------
「連続関数 $2$f(x)$ に対して，
$2$ F(x)=-\frac{x}{2}+\displaystyle\int_{0}^{x}tf(x-t)dt$
とおく． $2$F''(x)=\cos x$ であるとき，以下の問いに答えよ．
（１） $2$f(x),F(x)$ を求めよ．
------------------------------------------------------
のように解釈してよろしいでしょうか？

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■21381 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数Ⅲ

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□投稿者/ ウルトラマンファミリー(165回)-(2007/01/28(Sun) 04:24:10)

> ↑の問題は，
> ------------------------------------------------------
> 「連続関数 $2$f(x)$ に対して，
> $2$ F(x)=-\frac{x}{2}+\displaystyle\int_{0}^{x}tf(x-t)dt$
> とおく． $2$F''(x)=\cos x$ であるとき，以下の問いに答えよ．
> （１） $2$f(x),F(x)$ を求めよ．
> ------------------------------------------------------
> のように解釈してよろしいでしょうか？

ちなみに，上記の解釈が正しいとして解答すると次のようになります．
$2$x-t=u\Longleftrightarrow t=-u+x$ とおくと， $2$dt=-du$ ， $2$t:0\to x$ のとき， $2$u:x\to 0$ であるから，
$2$ F(x) = -x/2 + \displaystyle\int_{x}^{0}(-u+x)f(u)(-1)du \\ =-x/2 + \displaystyle\int_{0}^{x}(-u+x)f(u)du \\ =-x/2 - \displaystyle\int_{0}^{x}uf(u)du + x\displaystyle\int_{0}^{x}f(u)du$
よって，
$2$ F'(x) = -1/2 -xf(x)+\displaystyle\int_{0}^{x}f(u)du + xf(x) \\ =-1/2 + \displaystyle\int_{0}^{x}f(u)du \\ \therefore F''(x) = f(x)$
となり，仮定より
$2$ f(x) = F''(x) = \cos x$
と求まります．
また，
$2$ F(0)=0, F'(0)=-1/2$
であるから，
$2$ F'(x) = F'(0)+\displaystyle\int_{0}^{x}F''(x)dx \\ =-1/2+\displaystyle\int_{0}^{x}\cos x dx \\ =-1/2+\sin x \\ \therefore F(x) = F(0) + \displaystyle\int_{0}^{x}F'(x) dx \\ =\displaystyle\int_{0}^{x}\left(-1/2+\sin x\right)dx \\ =[-(1/2)x-\cos x]_{0}^{x} \\ =-\cos x + 1/2$
と求まります．

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■21395 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数Ⅲ

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□投稿者/ マーブル一般人(6回)-(2007/01/28(Sun) 19:36:14)

解いていただきありがとうございます。頭のいい方なんですね。

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■21397 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 数Ⅲ

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□投稿者/ ken 一般人(14回)-(2007/01/28(Sun) 20:19:35)

No21381に返信(ウルトラマンさんの記事)

すいません．
ちょっと気になったので…
F(x)=-cosx-x/2+1ですよね？

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■21399 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 数Ⅲ

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□投稿者/ ウルトラマンファミリー(167回)-(2007/01/28(Sun) 20:31:11)

kenさん，こんばんわ．

> No21381に返信(ウルトラマンさんの記事)
>
> すいません．
> ちょっと気になったので…
> F(x)=-cosx-x/2+1ですよね？

あ，すみません．その通りです．一番最後のところで計算ミスしてます．
正しくは，
……途中省略……
$2$ =[-\frac{1}{2}x-\cos x]_{0}^{x} \\ =-\cos x -\frac{1}{2}x+1$
となります．

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