 | やまともさん，こんばんわ．
> 2007/01/24(Wed) 23:05:24 編集(投稿者)
>
> ｆ(x)=-log(sinx) (0＜x＜π)とおく。
> [１]f(x)は凸関数であることを示せ。
) が凸関数であることを示すには，区間 にて，%5cgeq%200) であることを示せばよいです．実際，計算すると
=-%5cfrac{1}{%5csin%20%20%20x}%5ccos%20%20%20x%20=-%5cfrac{%5ccos%20%20%20x}{%5csin%20%20%20x}%20%5c%5c
f''(x)=-%5cfrac{(-%5csin%20%20%20x)%5csin%20%20%20x-%5ccos%20%20%20x%5ccdot%20%5ccos%20%20x}{%5csin%20%20^{2}x}%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{%5csin%20%20^{2}x}%20>%200
)
であるから，は区間 にて凸関数です．
> [２]不等式 sin(π/4)＞[sin(π/16)sin(π/8)sin(9π/16)]^(1/3)が成り立つことを示せ。
証明すべき不等式は
>%5c{%5csin%20%20(%5cpi/16)%5csin%20%20(%5cpi/8)%5csin%20%20(9%5cpi/16)%5c}^{1/3}%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20%5clog%20%20(%5csin%20%20(%5cpi/4))>%5cfrac{1}{3}%5clog%20%20%5c{%5csin%20%20(%5cpi/16)%5csin%20%20(%5cpi/8)%5csin%20%20(9%5cpi/16)%5c}%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20%5clog%20%20(%5csin%20%20(%5cpi/4))>%5cfrac{%5clog%20%20(%5csin%20%20(%5cpi/16))+%5clog%20%20(%5csin%20%20(%5cpi/8))+%5clog%20%20(%5csin%20%20(9%5cpi/16))}{3}
)
と同値です．
ここで，(1)の結果より，=%5clog%20%20(%5csin%20%20%20x)) は凸関数であるから，
+f(%5cpi/8)+f(9%5cpi/16)%5cright)%20%5c%5c
%20<%20f%5cleft(%5cfrac{1}{3}((%5cpi/16)+(%5cpi/8)+(9%5cpi/16))%5cright)%20%5c%5c
=f(%5cpi/4)
)
つまり，
)+%5clog%20%20(%5csin%20%20(%5cpi/8))+%5clog%20%20(%5csin%20%20(9%5cpi/16))}{3}%20<%20%20%5clog%20%20(%5csin%20%20(%5cpi/4))
)
が成立するので，証明終わり．
>
>
> 宿題なのですが・・・
> 何を示せば凸関数であるといえるのでしょうか？
> また[１]と[２]には何かつながりがあるのでしょうか？
> どなたか教えてください。
|
