| ■21266 / inTopicNo.3) |
Re[1]: 微分です
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□投稿者/ ウルトラマン 軍団(139回)-(2007/01/24(Wed) 01:43:14)
 | マナさん，こんばんわ．
> 関数f(x)はxの3次式で,x=0で極大値3をとり,x=1で極小値-1をとるものとする。
> f(x)=0の負の解を-α,正の解をβ,γ(β＜γ)とするとき,α<βであることを証明せよ。
> という問題です。誰かお願いします。
仮定より，
%20=%20ax(x-1)%20=%20ax^{2}-ax
)
とおくと，
=%5cdisplaystyle%5cint%20f'(x)%20dx%20=%20%5cfrac{1}{3}ax^{3}-%5cfrac{1}{2}ax^{2}+b
)
とおけて，極値に関する条件から，
=b=3%20%5c%5c
%5cdisplaystyle%20f(1)=%5cfrac{1}{3}a-%5cfrac{1}{2}a+b=-1
%5cend{array}
%5cright.%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow
%5cleft%5c{
%5cbegin{array}{l}
a=24%20%5c%5c
b=3
%5cend{array}
%5cright.
)
であることが必要．逆にこのとき，
=24x(x-1)
)
となり， で極大値， で極小値をとるので十分であり，
=8x^{3}-12x^{2}+3
)
このとき，
=-1<0,%20%5c%5c
f(0)=3>0
)
であり， の範囲で) は単調に増加するから
 ……①
また，
=1>0,%20%5c%5c
f(1)=-1<0
)
であり， の範囲では単調に減少するから，
 ……②
①②より， であることが示された．（証明終わり）
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