 | いろいろやり方があると思いますが、いくつか示します。
(1)極座標を使うと
x=asinθcosφ
y=asinθsinφ
z=acosθ とおき
微小表面積が
dS=adθ・asinθdφなので、
S=∬[θ：0→π][φ：0→2π]a^2sinθdθdφ=4πa^2
（２）直交座標の回転
x^2+y^2=a^2をx軸の周りに回転させると、
y=√(a^2-x^2)
y’=x/√(a^2-x^2) より、対称性も考えれば、
S=2・2π∫[x：0→a]y√(1+y’^2)dx
=4π∫[x：0→a]adx=4πa^2
（３）邪道ですが、球の体積V=(4π/3)a^3が既知であれば、
半径がda増加するとき、体積の増加はdV=Sdaなので、
Vをaで微分して、S=4πa^2
（４）同様に、球の体積、および、錐の体積が柱の体積の1/3
であることが既知であれば、
V=Sa/3
V=(4π/3)a^3なので、
S=4πa^2
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