| いろいろやり方があると思いますが、いくつか示します。
(1)極座標を使うと x=asinθcosφ y=asinθsinφ z=acosθ とおき 微小表面積が dS=adθ・asinθdφなので、 S=∬[θ:0→π][φ:0→2π]a^2sinθdθdφ=4πa^2
(2)直交座標の回転 x^2+y^2=a^2をx軸の周りに回転させると、 y=√(a^2-x^2) y’=x/√(a^2-x^2) より、対称性も考えれば、 S=2・2π∫[x:0→a]y√(1+y’^2)dx =4π∫[x:0→a]adx=4πa^2
(3)邪道ですが、球の体積V=(4π/3)a^3が既知であれば、 半径がda増加するとき、体積の増加はdV=Sdaなので、 Vをaで微分して、S=4πa^2
(4)同様に、球の体積、および、錐の体積が柱の体積の1/3 であることが既知であれば、 V=Sa/3 V=(4π/3)a^3なので、 S=4πa^2
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