| ■21245 / inTopicNo.2) |
Re[1]: 重積分を使った体積の問題
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□投稿者/ ウルトラマン 軍団(134回)-(2007/01/23(Tue) 12:29:58)
 | まｔｈさん，こんばんわ．
> 円柱 (x - a)^2+(y - a)^2≦a^2 (a>0) を２平面 z = ax z= -ax で切り取った立体の体積を求めよ。
>
> わかる方、お願いします。（特に極座標変換のところが詳しいと助かります）
求める体積を とすると，
^{2}+(y-a)^{2}%5cleq%20a^{2}}%20%5c{(ax)-(-ax)%5c}dxdy%20
)
平面極座標に変換すると，
（ただし， ）
であるから，
より，
%20%5c%5c
=%20%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2%5cpi}d%5ctheta%20%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{a}dr%20(2a%5ccos%20%20%5ctheta)r^{2}+2a^{2}r%20%5c%5c
=%20%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2%5cpi}d%5ctheta%20[%5cfrac{2a}{3}%5ccos%20%20%5ctheta%20r^{3}+a^{2}r^{2}]_{0}^{a}%20%5c%5c
=%20%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2%5cpi}d%5ctheta%5cleft(%5cfrac{2a^{4}}{3}%5ccos%20%20%5ctheta+a^{4}%5cright)%20%5c%5c
=%20[-%5cfrac{2a^{4}}{3}%5csin%20%20%5ctheta+a^{4}%5ctheta]_{0}^{2%5cpi}%20%5c%5c
=2%5cpi%20a^{4}
)
ってな感じかなぁ．．
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