 | digiさん，こんばんわ．
> スカラー場について質問です。
>
> スカラー場で、点P(x, y, z)における等位面の方程式を
> =c) ・・・(1)
> とする。等位面上の曲線を,y(t),z(t))) とすれば、
> ,y(t),z(t))=c) ・・・(2)
> となる。これは、(1)に(2)のx=x(t),y=y(t),z=z(t)を代入したということですよね？
そうです．
>
> それで、(2)式の両辺をtで微分すると、
> 
> となるそうですが、これが良く分かりません。右辺はもちろん分かりますが、左辺は微分したらなぜそれぞれの成分を微分したものの和になるのでしょうか？
これについては，digiさんがお手持ちの「解析学」の教科書に必ず証明が載っているはずですので，そちらを参照してください．（「連鎖律」っていうキーワードで索引を調べて見てください）．
以下，証明の概略を示しておきます．
=%5cphi(t)+%5cleft(%5cfrac{%5cpartial%20%5cphi}{%5cpartial%20x}%5cfrac{dx}{dt}+%5cfrac{%5cpartial%20%5cphi}{%5cpartial%20y}%5cfrac{dy}{dt}+%5cfrac{%5cpartial%20%5cphi}{%5cpartial%20z}%5cfrac{dz}{dt}%5cright)h+o(h)
)
を示せばよい．
-x(t),%20%5c%5c
%5cDelta%20y%20=%20y(t+h)-y(t),%20%5c%5c
%5cDelta%20z%20=%20z(t+h)-z(t)
)
とおくと，
,%20%5c%5c
%5cDelta%20y%20=%20%5cfrac{dy}{dt}h+o(h),%20%5c%5c
%5cDelta%20z%20=%20%5cfrac{dz}{dt}h+o(h)
)
であるから，
%20=%20%5cphi(x(t+h),y(t+h),z(t+h))%20%5c%5c
=%5cphi(x(t)+%5cDelta%20x,%20y(t)+%5cDelta%20y,%20z(t)+%5cDelta%20z)%20%5c%5c
=%5cphi(x(t),y(t),z(t))+%5cfrac{%5cpartial%20%5cphi}{%5cpartial%20x}%5cDelta%20x+%5cfrac{%5cpartial%20%5cphi}{%5cpartial%20y}%5cDelta%20y%20+%20%5cfrac{%5cpartial%20%5cphi}{%5cpartial%20z}%5cDelta%20z%20+o(r)
)
ただし，^{2}+(%5cDelta%20y)^{2}+(%5cDelta%20z)^{2}})
+%5cfrac{%5cpartial%20%5cphi}{%5cpartial%20x}%5cDelta%20x+%5cfrac{%5cpartial%20%5cphi}{%5cpartial%20y}%5cDelta%20y%20+%20%5cfrac{%5cpartial%20%5cphi}{%5cpartial%20z}%5cDelta%20z%20+o(r)%20%5c%5c
=%5cphi(t)+%5cfrac{%5cpartial%20%5cphi}{%5cpartial%20x}%5cfrac{dx}{dt}h+%5cfrac{%5cpartial%20%5cphi}{%5cpartial%20y}%5cfrac{dy}{dt}h+%5cfrac{%5cpartial%20%5cphi}{%5cpartial%20z}%5cfrac{dz}{dt}h+%5cfrac{%5cpartial%20%5cphi}{%5cpartial%20x}o(h)+%5cfrac{%5cpartial%20%5cphi}{%5cpartial%20y}o(h)+%5cfrac{%5cpartial%20%5cphi}{%5cpartial%20z}o(h)+o(r)%20%5c%5c
)
ここで，
+%5cfrac{%5cpartial%20%5cphi}{%5cpartial%20y}o(h)+%5cfrac{%5cpartial%20%5cphi}{%5cpartial%20z}o(h)%20=%20o(h)
)
また，
)
であるから，
=o(h)
)
よって，
（証明終わり）
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