数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 微分方程式 / Page: 0]

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■21170 / inTopicNo.1)

　微分方程式

□投稿者/ ティ一般人(6回)-(2007/01/21(Sun) 11:06:37)

λ,r＞0なる定数。y'(t)=(r-λ*y(t))*y(t)をみたす。初期条件y(0)=y_0とする。(0<y_0<r/λ)このときy(t)をもとめよ。という問題なのですがどの方法でこの微分方程式をとけばよいのかわかりません。お願いします。

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■21174 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分方程式

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□投稿者/ ウルトラマン軍団(121回)-(2007/01/21(Sun) 17:54:56)

ティさん，こんばんわ．

> λ,r＞0なる定数。y'(t)=(r-λ*y(t))*y(t)をみたす。初期条件y(0)=y_0とする。(0<y_0<r/λ)このときy(t)をもとめよ。という問題なのですがどの方法でこの微分方程式をとけばよいのかわかりません。お願いします。

一番単純な「変数分離形」 $2$(dy/dx=f(x)g(y))$ の微分方程式です．
ですので，次のように解くといいでしょう．
$2$y(t)=y$ と略記すると，
$2$ \frac{dy}{dt}=(r-\lambda y)y \\ \frac{dy}{y(r-\lambda y)}=dt \\ \displaystyle\int \frac{dy}{y(r-\lambda y)}=\displaystyle\int dt \\ \displaystyle\int \frac{dy}{y(y-r/\lambda)}dy = -\lambda\displaystyle\int dt \\ \displaystyle\int \frac{\lambda}{r}\left(\frac{1}{y-r/\lambda}-\frac{1}{y}\right)dy = -\lambda\displaystyle\int dt \\ \displaystyle\int \left(\frac{1}{y-r/\lambda}-\frac{1}{y}\right)dy = -r\displaystyle\int dt \\ \log \left(y-\frac{r}{\lambda}\right)-\log y = -rt + C \\ \log \frac{y-r/\lambda}{y} = -rt + C \\ \frac{y-r/\lambda}{y} = Ae^{-rt} \\ y= \frac{r}{\lambda}\frac{1}{1-Ae^{-rt}}=y(t)$
初期条件 $2$y(0)=y_{0}$ より
$2$ \frac{r}{\lambda}\frac{1}{1-A} = y_{0} \\ A = \frac{\lambda y_{0}-r}{\lambda y_{0}}$
であるから，
$2$ y(t)=\frac{ry_{0}}{\lambda-(\lambda y_{0}-r)e^{-rt}}$
となります．

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■21259 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 微分方程式

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□投稿者/ ティ一般人(8回)-(2007/01/23(Tue) 20:51:25)

わかりやすい回答ありがとうございました！！

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