 | ⅹについての２次不等式(ⅹ－ａ)(ⅹ＋ａ－２)≦０…①について、次の各問いに答えよ。ただし、ａは定数とする。
(1)ａ＝４のとき、不等式①を解け。
ａ＝４の時、①式は
(ｘ－４)(ｘ＋２)≦０
である。
∴－２≦ｘ≦４
(2)不等式①の解が－１≦ⅹ≦３となるような定数ａの値を求めよ。
①式を展開すると、
ｘ＾２－２ｘ－ａ＾２＋２ａ≦０…②
また、解が－１≦ⅹ≦３となるような不等式は、
(ｘ－３)(ｘ＋１)≦０
ｘ＾２－２ｘ－３≦０…③
である。②と③の係数を比較すると
－ａ＾２＋２ａ＝－３
ａ＾２－２ａ＋３＝０
∴ａ＝－１，３
(3)不等式①を満たすⅹがただ１つ存在するような定数ａの値を求めよ。
この不等式を満たすｘが一つ存在するということは、①式がｘ軸に接すればよい。
つまり、②式の判別式が０になればよい。
Ｄ/４＝１＋ａ＾２－２ａ＝０
(ａ－１)＾２＝０
∴ａ＝１
(4)１≦ⅹ≦３の範囲において、不等式①がつねに成り立つような定数ａの値の範囲を求めよ。
１≦ⅹ≦３の範囲において、不等式①がつねに成り立つためには、
ｆ(x)＝(ⅹ－ａ)(ⅹ＋ａ－２)とおくと、
ｆ(１)とｆ(３)が共に０以下であればよい。
∴ｆ(１)≦０かつｆ(３)≦０
ｆ(１)＝(１－ａ)(１＋ａ－２)≦０
(ａ－１)＾２≧０
∴ａは任意の数…④
ｆ(３)＝(３－ａ)(３＋ａ－２)≦０
(ａ－３)(ａ＋１)≧０
∴ａ≦－1，３≦ａ…⑤
④，⑤を同時に満たすａは、
ａ≦－1，３≦ａ…⑤
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