| Iについての2次不等式(I−a)(I+a−2)≦0…@について、次の各問いに答えよ。ただし、aは定数とする。 (1)a=4のとき、不等式@を解け。 a=4の時、@式は (x−4)(x+2)≦0 である。 ∴−2≦x≦4
(2)不等式@の解が−1≦I≦3となるような定数aの値を求めよ。 @式を展開すると、 x^2−2x−a^2+2a≦0…A また、解が−1≦I≦3となるような不等式は、 (x−3)(x+1)≦0 x^2−2x−3≦0…B である。AとBの係数を比較すると −a^2+2a=−3 a^2−2a+3=0 ∴a=−1,3 (3)不等式@を満たすIがただ1つ存在するような定数aの値を求めよ。 この不等式を満たすxが一つ存在するということは、@式がx軸に接すればよい。 つまり、A式の判別式が0になればよい。 D/4=1+a^2−2a=0 (a−1)^2=0 ∴a=1 (4)1≦I≦3の範囲において、不等式@がつねに成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。 1≦I≦3の範囲において、不等式@がつねに成り立つためには、 f(x)=(I−a)(I+a−2)とおくと、 f(1)とf(3)が共に0以下であればよい。 ∴f(1)≦0かつf(3)≦0 f(1)=(1−a)(1+a−2)≦0 (a−1)^2≧0 ∴aは任意の数…C
f(3)=(3−a)(3+a−2)≦0 (a−3)(a+1)≧0 ∴a≦−1,3≦a…D
C,Dを同時に満たすaは、 a≦−1,3≦a…D
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