 | 2007/01/14(Sun) 21:28:03 編集(投稿者)
■No20984に返信(ゆみ 高２さんの記事)
> ・OA＝３、OB＝２、∠AOB＝120°の三角形OABがある。辺OAの中点をC、辺OBを２：３に内分する点をDとする。ADとBCの交点をPとする。さらに、直線OPと辺ABの交点をQとする。↑OA＝↑a、↑OB＝↑ｂとするとき、次の問いに答えよ。
>
> 点Pから辺ABに垂線PHを下ろすとき、線分の長さの比AH：HBを最も簡単な整数の比で表せ。
メネラウスの定理より、OC/CA・AP/PD・DB/BO = 1 よって AP/PD=5/3 で AP : PD = 5 : 3
よって ↑OP = (3↑OA+5↑OD)/8 = (3↑a+2↑b)/8
ここで AH : HB = t : (1-t) とおくと、↑OH = (1-t)↑a+t↑b で
↑PH = ↑OH-↑OP = (5/8-t)↑a+(t-1/4)↑b
PH⊥AB より ↑PH・↑AB = 0
{(5/8-t)↑a+(t-1/4)↑b}・(↑b-↑a)=0
展開して ↑a・↑b = 3・2・cos120 = -3、|↑a| = 3、|↑b| = 2 を代入 → t = 37/76
よって、AH : HB = 37/76 : (1-37/76) = 37 : 39
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