 | 2007/01/14(Sun) 18:17:39 編集(投稿者)
■No20970に返信(数さんの記事)
> こんばんわ。微分に関する問題で、２つ質問があります。
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> (1) 正の数 に対して、 となる正の数 は何個あるか？
a^x=x^a 両辺自然対数をとって xloga=alogx a,x>0 より loga/a=logx/x
f(x)=logx/x とおくと
f'(x)=(1-logx)/x^2 増減表より x=e で極大値を取る。
またグラフの漸近線は ｘ軸およびｙ軸。
y=f(x) と y=loga/a=f(a) の共有点を考えて、a^x=x^a となる正の数xは
0＜a≦1, a＝e のとき１つ、1＜a＜e, e＜a のとき２つ。
> (2)  を自然対数の底、 を円周率とするとき、 と とはどちらが大きいか？
a^x, x^a の大小と loga/a, logx/x の大小は一致する。
e^π, π^e について loge/e(=1/e), logπ/π を考えると
y=logx/x の最大値が 1/e より 1/e=loge/e＞logπ/π。
よって、e^π＞π^e。
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