| 2007/01/14(Sun) 18:17:39 編集(投稿者)
■No20970に返信(数さんの記事) > こんばんわ。微分に関する問題で、2つ質問があります。 > > (1) 正の数に対して、 となる正の数は何個あるか? a^x=x^a 両辺自然対数をとって xloga=alogx a,x>0 より loga/a=logx/x f(x)=logx/x とおくと f'(x)=(1-logx)/x^2 増減表より x=e で極大値を取る。 またグラフの漸近線は x軸およびy軸。 y=f(x) と y=loga/a=f(a) の共有点を考えて、a^x=x^a となる正の数xは 0<a≦1, a=e のとき1つ、1<a<e, e<a のとき2つ。 > (2) を自然対数の底、を円周率とするとき、ととはどちらが大きいか? a^x, x^a の大小と loga/a, logx/x の大小は一致する。 e^π, π^e について loge/e(=1/e), logπ/π を考えると y=logx/x の最大値が 1/e より 1/e=loge/e>logπ/π。 よって、e^π>π^e。
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