数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 微分に関する問題 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ2 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■20963 / inTopicNo.1)

　微分に関する問題

□投稿者/ 数一般人(1回)-(2007/01/14(Sun) 10:31:56)

aを0でない実数とする。
2つの曲線 y=e^x および y=ax^2
の両方に接する直線の本数を求めよ。

という問題なのですが、これはa>0やa<0のように場合分けしたりして解くのですか？微分をどのように使用するのかがわかりません・・・。
助けてください！！！お願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■20965 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分に関する問題

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン付き人(98回)-(2007/01/14(Sun) 14:11:49)

数さん，こんばんわ．

> aを0でない実数とする。
> 2つの曲線 y=e^x および y=ax^2
> の両方に接する直線の本数を求めよ。

$2$y=e^{x}$ ……①より， $2$y'=e^{x}$ であるから，①上の点 $2$(t,e^{t})$ での接線の方程式は，
$2$y=e^{t}(x-t)+e^{t}\Longleftrightarrow y=e^{t}x+e^{t}(1-t)$ ……①と書けて，これが $2$y=ax^{2}$ ……②と接する条件は①と②より $2$y$ を消去した方程式
$2$e^{t}x+e^{t}(1-t)=ax^{2}$
$2$\Longleftrightarrow ax^{2}-e^{t}x-e^{t}(1-t)=0$ ……③が重解をもつことで，
$2$ D = e^{2t}+4ae^{t}(1-t) = 0 \\ \Longleftrightarrow e^{t}+4a(1-t)=0$
$2$\Longleftrightarrow a = \frac{e^{t}}{t-1}\equiv g(t)$ ……④
よって，④の実数解の個数を調べればよいので， $2$g(t)$ の増減を調べると，
$2$ g'(t) = \frac{e^{t}(t-1)-e^{t}}{(t-1)^{2}} \\ =\frac{e^{t}(t-2)}{(t-1)^{2}} \\$
これと
$2$ \lim_{t\to -\infty}g(t)=0 \\ \lim_{t\to 1-0}g(t)=-\infty \\ \lim_{t\to 1+0}g(t)=\infty \\ \lim_{t\to \infty}g(t)=\infty$
ならびに， $2$g(t)$ は $2$t=2$ で極小値をとることを考えると，④の実数解は次のように変化する．つまり，

(i) $2$t>2$ のとき， $2$2$ 本
(ii) $2$t=2$ のとき， $2$1$ 本
(iii) $2$0\leq t<2$ のとき， $2$0$ 本
(iv) $2$t<0$ のとき， $2$1$ 本

が答え．

> という問題なのですが、これはa>0やa<0のように場合分けしたりして解くのですか？微分をどのように使用するのかがわかりません・・・。
> 助けてください！！！お願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■20969 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 微分に関する問題

▲▼■

□投稿者/ 数一般人(2回)-(2007/01/14(Sun) 16:40:31)

ウルトラマンさん、解説ありがとうございます！大変助かります！
返事が遅くなってしまって申し訳ないです。

ここで解説に関する質問があるのですが、よろしいでしょうか？
①重解を持つのが条件ということを示したあとに
　 $2$ D = e^{2t}+4ae^{t}(1-t) = 0$
　が
　 $2$ e^{t}+4a(1-t)=0$
　になった過程が分からないのですが、どのようになっているのですか？
　（ $2$e^{2t}$ の2や、 $2$4ae^{t}$ の $2$e^{t}$ がどこに行ってしまったのか？ということです）

②もう一つの質問は、
　 $2$ e^{t}+4a(1-t)=0$ 　の後の段階で、
　 $2$a = \frac{e^{t}}{t-1}\$ と、ありますが
　 $2$a = \frac{e^{t}}{4{(t-1)}}\$ にならないのはなぜですか？

③最後の質問は、
　答えのところで、
(i) $2$t>2$ のとき， $2$2$ 本
(ii) $2$t=2$ のとき， $2$1$ 本
(iii) $2$0\leq t<2$ のとき， $2$0$ 本
(iv) $2$t<0$ のとき， $2$1$ 本
　とありますが、これは
(i) $2$y>2$ のとき， $2$2$ 本
(ii) $2$y=2$ のとき， $2$1$ 本
(iii) $2$0\leq y<2$ のとき， $2$0$ 本
(iv) $2$y<0$ のとき， $2$1$ 本
　では、いけないんでしょうか？

初歩的な質問を聞いたりしてごめんなさい・・・

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■20980 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 微分に関する問題

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン付き人(99回)-(2007/01/14(Sun) 19:13:10)

数さん，こんばんわ．

> ウルトラマンさん、解説ありがとうございます！大変助かります！
> 返事が遅くなってしまって申し訳ないです。
>
> ここで解説に関する質問があるのですが、よろしいでしょうか？
> ①重解を持つのが条件ということを示したあとに
> 　 $2$ D = e^{2t}+4ae^{t}(1-t) = 0$
> 　が
> 　 $2$ e^{t}+4a(1-t)=0$
> 　になった過程が分からないのですが、どのようになっているのですか？
> 　（ $2$e^{2t}$ の2や、 $2$4ae^{t}$ の $2$e^{t}$ がどこに行ってしまったのか？ということです）

えぇ～とこれは， $2$e^{2t}+4ae^{t}(1-t)=0$ の両辺を $2$e^{t}(\ne 0)$ で割っただけです．

> ②もう一つの質問は、
> 　 $2$ e^{t}+4a(1-t)=0$ 　の後の段階で、
> 　 $2$a = \frac{e^{t}}{t-1}\$ と、ありますが
> 　 $2$a = \frac{e^{t}}{4{(t-1)}}\$ にならないのはなぜですか？

すみません．
これは僕の計算ミスです．Σ(￣ロ￣lll)
正しくは，
$2$ 4a=\frac{e^{t}}{t-1}$
となります．

> ③最後の質問は、
> 　答えのところで、
> (i) $2$t>2$ のとき， $2$2$ 本
> (ii) $2$t=2$ のとき， $2$1$ 本
> (iii) $2$0\leq t<2$ のとき， $2$0$ 本
> (iv) $2$t<0$ のとき， $2$1$ 本
> 　とありますが、これは
> (i) $2$y>2$ のとき， $2$2$ 本
> (ii) $2$y=2$ のとき， $2$1$ 本
> (iii) $2$0\leq y<2$ のとき， $2$0$ 本
> (iv) $2$y<0$ のとき， $2$1$ 本
> 　では、いけないんでしょうか？

すみません．これも僕のタイプミスです．
正しくは， $2$y=4a$ と $2$y=\frac{e^{t}}{t-1}$ のグラフの共有点の個数を考えないと駄目なので，
(i) $2$4a>2$ つまり $2$a>1/2$ のとき，２本
(ii) $2$4a=2$ つまり $2$a=1/2$ のとき，１本
(iii) $2$0\leq 4a < 2$ つまり $2$0\leq a < 1/2$ のとき，０本
(iv) $2$4a < 0$ つまり $2$a < 0$ のとき，１本
となります．

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■20982 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 微分に関する問題

▲▼■

□投稿者/ ＫＧ軍団(105回)-(2007/01/14(Sun) 20:36:09)

ウルトラマンさん，
　　 $2$y=\frac{e^{t}}{t-1}$
の極小値は，
　　ｅ^2　(ｔ＝２のとき)
だと思いますが…

ですから，４ａ＞２なんかは４ａ＞e^2 になると思います．

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■20987 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 微分に関する問題

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン軍団(101回)-(2007/01/14(Sun) 21:30:34)

> ウルトラマンさん，
> 　　 $2$y=\frac{e^{t}}{t-1}$
> の極小値は，
> 　　ｅ^2　(ｔ＝２のとき)
> だと思いますが…
>
> ですから，４ａ＞２なんかは４ａ＞e^2 になると思います．

おぉぉ．その通りです．
しょうもない計算ミスしてすみません．

ですので，正しくは
(i) $2$4a>e^{2}$ つまり $2$a>e^{2}/4$ のとき， $2$2$ 本
(ii) $2$4a=e^{2}$ つまり $2$a=e^{2}/4$ のとき， $2$1$ 本
(iii) $2$0\leq 4a<e^{2}$ つまり $2$0\leq a<e^{2}/4$ のとき， $2$0$ 本
(iv) $2$4a<0$ つまり $2$a<0$ のとき， $2$1$ 本
となります．．．Σ(￣ロ￣lll)

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■20991 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 微分に関する問題

▲▼■

□投稿者/ 数一般人(6回)-(2007/01/14(Sun) 22:37:06)

ウルトラマンさん、ＫＧさん
ありがとうございました！！
本当に助かりました。理解することができました！
今日は本当にありがとうございましたーーー　よいお年を！！

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター