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■20914 / inTopicNo.1) 　因数定理
  ▼■
□投稿者/ kouhei matsuura ＠ 一般人(16回)-(2007/01/11(Thu) 19:28:41)
    因数定理を勉強しているのですが、なぜ、P(a)=0となるaは ±(最高次の約数)/(最低次の約数)となるのでしょうか?
    証明出来る方いらっしゃいますか?

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■20918 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 因数定理
□投稿者/ miyup 大御所(1076回)-(2007/01/11(Thu) 23:47:44)
    ■No20914に返信(kouhei matsuuraさんの記事)
    > 因数定理を勉強しているのですが、なぜ、P(a)=0となるaは ±(最高次の約数)/(最低次の約数)となるのでしょうか?

    ±(最低次の約数)/(最高次の約数) です。

    P(x) = Ax^n + … + D = ( ax + b )( cx^(n-1) + … + d ) のとき P(-b/a) = 0 であり
    展開すると A = ac, D = bd なので、P(x) = 0 となる x = -b/a について
    b は D の約数、a は A の約数になります。
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■20921 / inTopicNo.3) 　Re[1]: 因数定理
□投稿者/ 世界市民 一般人(3回)-(2007/01/12(Fri) 00:06:14)
    反例
    P(x)=x^2-2
    a=√2のとき
    P(a)=0

    a→無理数
    ±(最高次の約数)/(最低次の約数)→有理数

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■20922 / inTopicNo.4) 　Re[2]: 因数定理
□投稿者/ miyup 大御所(1077回)-(2007/01/12(Fri) 00:18:17)
    2007/01/12(Fri) 00:19:18 編集(投稿者)

    ■No20921に返信(世界市民さんの記事)
    > 反例
    > P(x)=x^2-2
    > a=√2のとき
    > P(a)=0
    >
    > a→無理数
    > ±(最高次の約数)/(最低次の約数)→有理数

    高校の因数定理では、無理数のレベルで因数分解はしません。
    よって
    ±(最低次の約数)/(最高次の約数) でよいことになります。
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■20924 / inTopicNo.5) 　Re[3]: 因数定理
□投稿者/ 世界市民 一般人(5回)-(2007/01/12(Fri) 00:28:57)
    P(a)=0となるaについて、a=±(最低次の約数)/(最高次の約数)である
    という命題なので 因数分解と関係ないのではないでしょうか。
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■20926 / inTopicNo.6) 　Re[4]: 因数定理
□投稿者/ 白拓 大御所(696回)-(2007/01/12(Fri) 00:36:28)
    >世界市民さん
    aは有理数ということだと思います。
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■20927 / inTopicNo.7) 　Re[5]: 因数定理
□投稿者/ miyup 大御所(1078回)-(2007/01/12(Fri) 08:33:57)
    ■No20926に返信(白拓さんの記事)
    > >世界市民さん
    > aは有理数ということだと思います。
    白拓さんのおっしゃるとおりです。
    因数定理自体は複素数のレベルで成り立ちますが
    最高次の約数という言葉が出てきた段階で a は有理数のことであると判断できます。
    質問者は高次の整式の因数分解をイメージしていると思われますので
    単なる命題の証明では質問者の疑問に答えたことにならないだろうと思います。
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■20968 / inTopicNo.8) 　Re[2]: 因数定理
□投稿者/ kouhei matsuura ＠ 一般人(17回)-(2007/01/14(Sun) 16:36:55)
    ありがとうございました

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■21001 / inTopicNo.9) 　Re[2]: 因数定理
□投稿者/ kouhei matsuura ＠ 一般人(18回)-(2007/01/15(Mon) 01:37:21)
    ありがとうございました。

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