 | 2007/01/08(Mon) 10:23:22 編集(投稿者)
■No20753に返信(ミナヅキさんの記事)
> 関数f(x)=x/2+5/2x （x＞0）について次の問いに答えよ。
>
> (1)f(x)のとりうる値の範囲を求めよ。
相加相乗平均の関係より
f(x)=x/2+5/2x≧2√(x/2・5/2x)=√5。 等号成立は x=√5 のとき
> (2)ａ1＝3 , ａn+1＝f(ａn) (n=1.2.3.･･･)によって定義される数列｛ａn｝について
> ａn+1－√5≦1/2（ａn－√5）が成り立つことを示せ。
a[n+1]-√5 = f(a[n])-√5 = … = (a[n]-√5)^2/(2a[n])
= 1/2・(a[n]-√5)・(a[n]-√5)/a[n]
= 1/2・(a[n]-√5)・(1-√5/a[n])…①
ここで(1)より a[n]≧√5 から 0≦1-√5/a[n]＜1
よって ①＜1/2・(a[n]-√5)
以上より、a[n+1]-√5≦1/2・(a[n]-√5)。
> また極限値limａnを求めよ。
> n→∞
(0≦)a[n]-√5≦1/2・(a[n-1]-√5)≦ … ≦(1/2)^(n-1)・(a[1]-√5)
ここで lim[n→∞]{(1/2)^(n-1)・(a[1]-√5)} = 0 より
はさみうちの原理から lim[n→∞](a[n]-√5) = 0
よって、lim[n→∞] a[n] = √5。
> (3)ｂ1＝1 .ｂn+1＝1/2-f'(ｂn) （n＝1,2,3･･･）によって定義される数列｛bn｝の一般項を求めよ。
f'(x)=1/2-5/(2x^2) より、b[n+1]=5/(2b[n]^2)
両辺自然対数をとって、logb[n+1]=log5/2-2logb[n]
logb[n]=x[n], log5/2=a とおくと x[1]=0, x[n+1]=-2x[n]+a で
一般項 x[n]=1/3・a{1-(-2)^(n-1)}
よって、b[n] = e^{x[n]} = e^{1/3・log5/2・{1-(-2)^(n-1)}}。
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