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■20715 / inTopicNo.1)

　証明

□投稿者/ やまとも付き人(61回)-(2007/01/06(Sat) 23:53:22)

放物線y=x^2+1上の点P(t,t^2+1)に対しy軸上の点Q(0,-at^2)をとる(ただしa＞0)。
t＞0のとき直線PQとこの放物線との交点をPおよびP`とし、f(t)=a-t^(-1)+t(-3)とおく。
（１）Pのx座標がP`のx座標より大きくないとき、f(t)≧0を示せ。
（２）t＞0のとき常にf(t)≧0が成り立つためのaの範囲を求めよ。

完全にお手上げ状態です。どなたか教えてください。

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■20724 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 証明

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□投稿者/ ウルトラマン付き人(69回)-(2007/01/07(Sun) 06:48:08)

やまもとさん，おはようございます．

> 放物線y=x^2+1上の点P(t,t^2+1)に対しy軸上の点Q(0,-at^2)をとる(ただしa＞0)。
> t＞0のとき直線PQとこの放物線との交点をPおよびP`とし、f(t)=a-t^(-1)+t(-3)とおく。

え～と，ちょっと式の表記が分からないのですが，
--------------------
f(t)=a-t^(-1)+t(-3)
--------------------
っていうのは，
$2$ f(t)=a-t^{-1}+t^{-3}$
のことだと思ってよろしいでしょうか？

> （１）Pのx座標がP`のx座標より大きくないとき、f(t)≧0を示せ。
> （２）t＞0のとき常にf(t)≧0が成り立つためのaの範囲を求めよ。
>
>
> 完全にお手上げ状態です。どなたか教えてください。
>

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■20799 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 証明

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□投稿者/ やまとも付き人(64回)-(2007/01/08(Mon) 23:02:31)

すみません。返事が遅くなってしまいました。。。
ウルトラマンさんが表記したとおりです。

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■20959 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 証明

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□投稿者/ ウルトラマン付き人(96回)-(2007/01/14(Sun) 03:03:35)

やまもとさん，こんばんわ．

回答が遅くなりすみません．（てっきり忘れてましたΣ(￣ロ￣lll)）

> 放物線y=x^2+1上の点P(t,t^2+1)に対しy軸上の点Q(0,-at^2)をとる(ただしa＞0)。
> t＞0のとき直線PQとこの放物線との交点をPおよびP`とし、f(t)=a-t^(-1)+t(-3)とおく。
> （１）Pのx座標がP`のx座標より大きくないとき、f(t)≧0を示せ。

直線 $2$PQ$ の傾きは
$2$ \frac{(t^{2}+1)+at^{2}}{t}=\frac{(a+1)t^{2}+1}{t}$
であるから，直線 $2$PQ$ の方程式は
$2$ y=\frac{(a+1)t^{2}+1}{t}x-at^{2}$
これと $2$y=x^{2}+1$ より $2$y$ を消去して，
$2$ x^{2}+1=\frac{(a+1)t^{2}+1}{t}x-at^{2} \\ \Longleftrightarrow x^{2}-\left((a+1)t+\frac{1}{t}\right)x+(at^{2}+1)=0 \\ \Longleftrightarrow (x-t)\left(x-\frac{at^{2}+1}{t}\right)=0 \\ \Longleftrightarrow x=t, \frac{at^{2}+1}{t}$
よって， $2$P'$ の $2$x$ 座標は
$2$ \frac{at^{2}+1}{t}$
であるから，仮定より， $2$t>0$ に対して，
$2$ t\leq \frac{at^{2}+1}{t} \\ \Longleftrightarrow at^{2}+1\geq t^{2} \\ \Longleftrightarrow at^{3}+t\geq t^{3} \\ \Longleftrightarrow at^{3}\geq t^{3}-t$
が成立．
よって，
$2$ f(t) = a-\frac{1}{t}+\frac{1}{t^{3}} \\ =\frac{at^{3}-t^{2}+1}{t^{3}} \\ \geq \frac{t^{3}-t-t^{2}+1}{t^{2}} \\ =\frac{t(t^{2}-1)-(t^{2}-1)}{t^{2}} \\ =\frac{(t-1)^{2}(t+1)}{t^{2}} \\ \geq 0$
（証明終わり）

> （２）t＞0のとき常にf(t)≧0が成り立つためのaの範囲を求めよ。
>

$2$t>0$ のとき，
$2$ f(t)=\frac{at^{3}-t^{2}+1}{t^{3}}\geq 0 \\ \Longleftrightarrow at^{3}-t^{2}+1\geq 0 \\ \Longleftrightarrow at^{3}\geq t^{2}-1 \\ \Longleftrightarrow \frac{t^{2}-1}{t^{3}}\leq a$
そこで，
$2$ g(t)\equiv \frac{t^{2}-1}{t^{3}}$
とおくと，
$2$ g'(t)=\frac{(\sqrt{3}-t)(\sqrt{3}+t)}{t^{4}}$
より， $2$g(t)$ は， $2$t>0$ の範囲では， $2$t=\sqrt{3}$ のとき，極大かつ最大値をとるから，求める条件は，
$2$ a\geq g(\sqrt{3}) \\ \Longleftrightarrow a\geq \frac{2\sqrt{3}}{27}$
となります．

> 完全にお手上げ状態です。どなたか教えてください。
>

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■20967 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 証明

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□投稿者/ やまとも付き人(67回)-(2007/01/14(Sun) 15:36:16)

ウルトラマンさん　回答ありがとうございました。
まさか回答してくださるなんて思っていませんでした。
本当にありがとうございます。

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