数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 面積 / Page: 0]

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■20714 / inTopicNo.1)

　面積

□投稿者/ tomo 一般人(2回)-(2007/01/06(Sat) 23:23:27)

曲線y=x^2……①上の点A(1)[１，１]における接線とｘ軸との交点をB(1),B(１)を通ってｘ軸に垂直な直線を引き、これと①との交点をA(2)とする。①上の点A(2)における接線とx軸との交点をB(2),B(2)を通るx軸に垂直な直線と①との交点をA(3)という具合にこの操作を続ける。
[１]点A(n)、B(n)の座標を求めよ。
[２]点A(n)を通りy軸に平行な直線と点A(n+1）を通りx軸に平行な直線との交点をC(n)とするとき、曲線①の点A(n)からA(n+1）までの部分と２線分A(n)C(n)、A(n+1)C(n)で囲まれた部分の面積S(n)を求めよ。

最初の接線の方程式は出してみたのですが…
どなたかご教授下さい。

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■20717 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 面積

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン付き人(67回)-(2007/01/07(Sun) 00:02:19)

tomoさん，こんばんわ．

> 曲線y=x^2……①上の点A(1)[１，１]における接線とｘ軸との交点をB(1),B(１)を通ってｘ軸に垂直な直線を引き、これと①との交点をA(2)とする。①上の点A(2)における接線とx軸との交点をB(2),B(2)を通るx軸に垂直な直線と①との交点をA(3)という具合にこの操作を続ける。
> [１]点A(n)、B(n)の座標を求めよ。

え～と， $2$A_{n},B_{n}$ の $2$x$ 座標を $2$a_{n},b_{n}$ としましょう．
すると， $2$y=x^{2}$ ……①より， $2$y'=2x$ であるから，①上の点 $2$A_{n}$ での接線の方程式は
$2$ y-a_{n}^{2} = 2a_{n}(x-a_{n}) \Longleftrightarrow y = 2a_{n}x - a_{n}^{2}$
であるから，この式で $2$y=0$ とおくことにより，
$2$ 2a_{n}x - a_{n}^{2} = 0 \Longleftrightarrow x = \frac{a_{n}}{2}$
つまり， $2$B_{n}$ の $2$x$ 座標は
$2$ b_{n} = \frac{a_{n}}{2}$
であるから，
$2$ a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n},\quad a_{1} = 1$
よって， $2$\{a_{n}\}$ は初項 $2$1$ ，公比 $2$1/2$ の等比数列であるから，
$2$ a_{n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$
また，
$2$ b_{n} = \frac{1}{2}a_{n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}$

> [２]点A(n)を通りy軸に平行な直線と点A(n+1）を通りx軸に平行な直線との交点をC(n)とするとき、曲線①の点A(n)からA(n+1）までの部分と２線分A(n)C(n)、A(n+1)C(n)で囲まれた部分の面積S(n)を求めよ。

$2$A_{n}, A_{n+1}$ から $2$x$ 軸に下ろした垂線の足を $2$H_{n}, H_{n+1}$ とすると，
$2$ S_{n} = \displaystyle\int_{a_{n+1}}^{a_{n}}x^{2}dx - H_{n}H_{n+1}A_{n+1}A_{n} \\ =\displaystyle\int_{(1/2)^{n}}^{(1/2)^{n-1}}x^{2}dx - \left(\frac{1}{2}\right)^{2n}\times \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right) \\ =[\frac{1}{3}x^{3}]_{(1/2)^{n}}^{(1/2)^{n-1}}-\left(\frac{1}{2}\right)^{3n} \\ =\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3n-2}$

ってな感じかと思います．

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