数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 三角比です / Page: 0]

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■20576 / inTopicNo.1)

　三角比です

□投稿者/ ノブ一般人(1回)-(2007/01/03(Wed) 22:37:44)

半径1の円に内接する△ABCにおいてBC=a、CA=b、AB=c∠BAC=A、∠CBA=B、∠ACB=Cとおきます。√3sinA=4sinBsinCかつB≦Cのとき (1)△ABCの面積をsinAを用いて表して下さい。 (2)△ABCの面積を最大にする角A、B、Cの大きさと面積の最大値を求めて下さい。誰かお願いします。

(携帯)

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■20578 / inTopicNo.2)

　誰か……

▲▼■

□投稿者/ ノブ一般人(2回)-(2007/01/03(Wed) 23:32:17)

誰か解答お願いします。

(携帯)

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■20587 / inTopicNo.3)

　お願いします

▲▼■

□投稿者/ ノブ一般人(3回)-(2007/01/04(Thu) 10:27:18)

誰か本気で悩んでいるのでお願いします。

(携帯)

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■20598 / inTopicNo.4)

　すみません

▲▼■

□投稿者/ ノブ一般人(4回)-(2007/01/04(Thu) 14:47:40)

すみませんが誰かお願いします。

(携帯)

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■20613 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 三角比です

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(1043回)-(2007/01/04(Thu) 21:03:02)

■No20576に返信(ノブさんの記事)
> 半径1の円に内接する△ABCにおいてBC=a、CA=b、AB=c∠BAC=A、∠CBA=B、∠ACB=Cとおきます。
>√3sinA=4sinBsinCかつB≦Cのとき
>(1)△ABCの面積をsinAを用いて表して下さい。
円の半径 R=1
正弦定理より、sinB=b/2R=b/2, sinC=c/2R=c/2
よって √3sinA=4sinBsinC=4・b/2・c/2=bc で
∴△ABCの面積 S=1/2・bc・sinA=√3/2・sin^2 A
>(2)△ABCの面積を最大にする角A、B、Cの大きさと面積の最大値を求めて下さい。
0＜A＜180 のとき 0＜sin^2 A≦1 より
S=√3/2・sin^2 A の最大値は √3/2 で、このとき A=90°
△ABC は直角三角形で、斜辺が外接円の直径になる。
斜辺を底辺と見ると高さ最大で面積最大。このとき△ABC は直角二等辺三角形。
∴B=C=45°

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■20660 / inTopicNo.6)

　すみません

▲▼■

□投稿者/ ノブ一般人(5回)-(2007/01/05(Fri) 21:26:11)

どうして直角二等辺三角形のとき面積が最大になるのですか？

(携帯)

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■20663 / inTopicNo.7)

　Re[3]: すみません

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(1048回)-(2007/01/05(Fri) 21:58:23)

2007/01/05(Fri) 21:58:59 編集(投稿者)

■No20660に返信(ノブさんの記事)
> どうして直角二等辺三角形のとき面積が最大になるのですか？
底辺は一定（直径）より、高さが最大になれば面積最大。
底辺から最も遠い円周上の点は、中心から垂線を上げた所。
このとき直角「二等辺」三角形になります。

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■20664 / inTopicNo.8)

　すみません

▲▼■

□投稿者/ ノブ一般人(6回)-(2007/01/05(Fri) 22:08:07)

でも辺aは外接円の中心を通るとは限らないのではないでしょうか？

(携帯)

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■20667 / inTopicNo.9)

　Re[5]: すみません

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(1049回)-(2007/01/05(Fri) 22:42:54)

2007/01/05(Fri) 22:46:19 編集(投稿者)

■No20664に返信(ノブさんの記事)
> でも辺aは外接円の中心を通るとは限らないのではないでしょうか？
直角三角形ABCの外接円は、Ａが直角の時、斜辺BCが直径になります。
さらにいうと
直角三角形でなくても、面積最大ならばBCを底辺とする二等辺三角形になります。

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■20668 / inTopicNo.10)

　Re[5]: すみません

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン付き人(61回)-(2007/01/05(Fri) 22:49:31)

ノブサン，こんばんわ．

miyupさんの解答ですと，「数式的な考察」と「図形的な考察」がミックスされていて，ノブさんが混乱されていると思われますので，一律「数式的な考察」でおしてみましょう．

まず，与えられた条件は
$2$\sqrt{3}\sin A=4\sin B\sin C$ ……①
で，問題は，①の条件の下で， $2$\triangle{ABC}$ の面積が最大となるのはどういうときか？ということですね．

そこで，(1)より，
$2$ \triangle{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin ^{2}A$
であるから， $2$\triangle{ABC}$ の面積が最大となるのは，
$2$\sin A = 1\Longleftrightarrow A = \frac{\pi}{2}$ ……②
のときであることは分かっているかと思います．

っで，②が成立するとき， $2$A,B,C$ は三角形の内角であることを利用すると，
$2$ A + B + C = \pi \\ \therefore B+C = \pi - A = \frac{\pi}{2} \\ \therefore B = \frac{\pi}{2} - C$
であるから，①は次のように同値変形できます．
$2$ \sqrt{3}\sin A=4\sin B\sin C \\ \Longleftrightarrow \sqrt{3}\cdot 1 = 4\sin \left(\frac{\pi}{2}-C\right)\sin C \\ \Longleftrightarrow \sqrt{3} = 4\cos C\sin C \\ \Longleftrightarrow \sin 2C = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \Longleftrightarrow 2C = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \\ \Longleftrightarrow C = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}$
ここで， $2$C=\frac{\pi}{6}$ とすると，
$2$ B=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
つまり， $2$B>C$ となり矛盾する．よって，
$2$ C=\frac{\pi}{3}, B=\frac{\pi}{6}$
以上より， $2$\triangle{ABC}$ の面積が最大のとき，内角の大きさは，
$2$ A=\frac{\pi}{2}, B=\frac{\pi}{6}, C=\frac{\pi}{3}$
となることが分かります．（つまり，30/60/90の三角定規のときということです）

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■20669 / inTopicNo.11)

　何度もすみません

▲▼■

□投稿者/ ノブ一般人(7回)-(2007/01/05(Fri) 22:59:02)

なるほど。ところで僕の考えなのですが条件から sinA=(4/√3sinBsinC) sin^2A=16/3sin^2Bsin^2C =1/3b^2c^2 そしてb=1、c=√3なので角B=30゜、角C=60゜これは違いますか？

(携帯)

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■20671 / inTopicNo.12)

　ちょっと論理にギャップがあるような．．．

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン付き人(62回)-(2007/01/05(Fri) 23:29:04)

ノブさん，こんばんわ．

えぇ～と．．．．

> なるほど。ところで僕の考えなのですが条件から
-------------------------
sinA=(4/√3sinBsinC)
sin^2A=16/3sin^2Bsin^2C
-------------------------
ここまでは，ＯＫです．

しかし，
----------------------------------------
=1/3b^2c^2 そしてb=1、c=√3
----------------------------------------
っていうのはどっから出てきたのでしょうか？
多分，
$2$ \sin A = 1, \sin B = \frac{b}{2}, \sin C = \frac{c}{2}$
を条件式
$2$ \sin A = \frac{4}{\sqrt{3}}\sin B\sin C$
に代入して，
$2$ \displaystyle 1 = \frac{4}{\sqrt{3}}\cdot \frac{b}{2}\cdot \frac{c}{2} \\ \Longleftrightarrow bc=\sqrt{3}$
としたのだと思うのですが，この式から
$2$ b=1,c=\sqrt{3}$
とするのは，論理にちょっとギャップがあるかと思います．

この方法で処理するには，
$2$A=\frac{\pi}{2}$ より， $2$\triangle{ABC}$ に三平方の定理を用いて，
$2$ b^{2}+c^{2} = 4$
これと，
$2$ bc=\sqrt{3}$
を連立方程式と見なし， $2$B\leq C$ より， $2$b\leq c$ であることを考慮して，
$2$ b=1, c=\sqrt{3}$
とすべきだと思います．っで，ここまで議論して，はじめて
$2$ B=\frac{\pi}{6}, C=\frac{\pi}{3}$
になるといった感じでしょうか．．．．

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■20673 / inTopicNo.13)

　こんばんは

▲▼■

□投稿者/ ノブ一般人(8回)-(2007/01/05(Fri) 23:39:46)

ありがとうございます。ちなみに答えはどうなればいいですか？

(携帯)

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■20674 / inTopicNo.14)

　Re[9]: こんばんは

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□投稿者/ ウルトラマン付き人(63回)-(2007/01/06(Sat) 00:46:30)

えぇ～と，ほとんど，解答してますが，念のため，完全解答を示しておきます．

> ありがとうございます。ちなみに答えはどうなればいいですか？
>

(1) $2$\triangle{ABC}$ に正弦定理を用いると，
$2$ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} = 2 \\ \Longleftrightarrow a = 2\sin A, b= 2\sin B, c= 2\sin C$
であるから， $2$\triangle{ABC}$ の面積 $2$S$ は
$2$ S = \frac{1}{2}bc\sin A \\ =\frac{1}{2}\cdot 2\sin B\cdot 2\sin C \sin A \\ =2\sin A\sin B\sin C \\ =2\sin A\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\sin A \\ =\frac{\sqrt{3}}{2} \sin ^{2}A$
となります．

(2)(1)の結果より， $2$S$ は
$2$ \sin ^{2}A = 1 \\ \Longleftrightarrow \sin A= 1 \\ \Longleftrightarrow A = \frac{\pi}{2}$
のとき，最大値
$2$ S_{\max} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
をとる．また，このとき， $2$A,B,C$ は三角形の内角であることより，
$2$ A+B+C = \pi \\ \therefore B+C = \pi - A = \frac{\pi}{2} \\ \therefore B = \frac{\pi}{2}-C$
であるから，
$2$ \sqrt{3}\sin A = 4\sin B\sin C \\ \Longleftrightarrow \sqrt{3} = 4\sin \left(\frac{\pi}{2}-C\right)\sin C \\ \Longleftrightarrow \sqrt{3} = 4\sin C\cos C \\ \Longleftrightarrow \sin 2C = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \Longleftrightarrow 2C = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \Longleftrightarrow C = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}$
ここで， $2$C=\pi/6$ とすると， $2$B=\pi/2-\pi/6=\pi/3$ となり， $2$B\leq C$ に矛盾するから，
$2$ C = \frac{\pi}{3} \\ \therefore B = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$
以上より， $2$\triangle{ABC}$ の面積が最大となるのは，
$2$ A=\frac{\pi}{2}, B=\frac{\pi}{6}, C=\frac{\pi}{3}$
のときで，最大値は
$2$ S_{\max} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ってな感じでしょうか．．．．

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■20675 / inTopicNo.15)

　Re[2]: 三角比です

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(1050回)-(2007/01/06(Sat) 00:53:34)

■No20613に返信(miyupさんの記事)
> ■No20576に返信(ノブさんの記事)
>>半径1の円に内接する△ABCにおいてBC=a、CA=b、AB=c∠BAC=A、∠CBA=B、∠ACB=Cとおきます。
> >√3sinA=4sinBsinCかつB≦Cのとき
> >(1)△ABCの面積をsinAを用いて表して下さい。
> 円の半径 R=1
> 正弦定理より、sinB=b/2R=b/2, sinC=c/2R=c/2
> よって √3sinA=4sinBsinC=4・b/2・c/2=bc で
> ∴△ABCの面積 S=1/2・bc・sinA=√3/2・sin^2 A
> >(2)△ABCの面積を最大にする角A、B、Cの大きさと面積の最大値を求めて下さい。
> 0＜A＜180 のとき 0＜sin^2 A≦1 より
> S=√3/2・sin^2 A の最大値は √3/2 で、このとき A=90°
> △ABC は直角三角形で、斜辺が外接円の直径になる。

> 斜辺を底辺と見ると高さ最大で面積最大。このとき△ABC は直角二等辺三角形。
> ∴B=C=45°
↑この２行は削除です。勘違いしてました。このあとはウルトラマンさんへ続けてください。

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■21016 / inTopicNo.16)

　Re[3]: 三角比です

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□投稿者/ 斉藤一般人(1回)-(2007/01/15(Mon) 17:25:35)

とてもわかりやすいですね。

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