数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 微分と平均値の定理 / Page: 0]

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■20499 / inTopicNo.1)

　微分と平均値の定理

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□投稿者/ tra 一般人(1回)-(2006/12/31(Sun) 16:19:16)

b≧a＞0のとき
logb-loga≧2(b-a)/(b+a)
を証明せよ。
って問題なんですけど、平均値の定理で証明できませんか？？
教えてくださいm(_ _)m

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■20504 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分と平均値の定理

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□投稿者/ だるまにおん一般人(8回)-(2006/12/31(Sun) 18:15:33)

a = b の時は明らかなので b ＞ a として考える．
(logb - loga)/{(b - a)/(b + a)}
= logx/{-2/(x + 1) + 1}　　( b/a = x とおいた．(x ＞ 1) )
= (1/c)/{2/(c + 1)^2}　　( コーシーの平均値の定理より左のような c (1 ＜ c ＜ x) が存在する)
= (c + 1)^2/(2c)
≧ 2　　( ∵ 相加 ≧ 相乗 )
よって logb - loga ≧ 2(b - a)/(b + a) が示された．

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■20507 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 微分と平均値の定理

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□投稿者/ tra 一般人(3回)-(2006/12/31(Sun) 20:58:29)

ありがとうございました。

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■20508 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 微分と平均値の定理

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□投稿者/ tra 一般人(4回)-(2006/12/31(Sun) 21:24:26)

あと、できれば

f(x)=logx
f'(x)=1/xから区間[a,b]　(a,bともに正)において
logb-loga/(b-a)=1/c (a<c<b)を満たすcが存在する。

を使って証明したいのですが,
1/b < logb-loga/(b-a) < 1/a
までしたあとにどうしたらいいでしょうか？？
それともこの方法では無理ですか？？

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