数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 体積 / Page: 0]

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■20468 / inTopicNo.1)

　体積

□投稿者/ satsuma 一般人(3回)-(2006/12/30(Sat) 17:46:04)

xyz空間において、動点P(0,0,(1-s)^2),Q(1,s^2,0)がある。変数sが|s|≦1を満たす実数の範囲を動くとき、
線分PQが動いてできる曲面をSとし、Sと平面x=yが囲む部分の体積をVとする。
(1)曲面Sと平面π_t:x=t(0<t<1)との交わりの曲線をC_t:y=f(z)とする。y=f(z)の概形をyz平面に図示せよ。
(2)Vの値を求めよ。 (答えは4/9)

という問題で、(1)までは、できたのですが、
(2)で、解説には、図の色を塗った部分の面積を求めて、それを0→1で積分しているのですが、
この立体をx=tで切った切り口が、あそこの色を塗った部分の面積になる理由がわかりません。
x=yという平面と作る体積なのだから、単純にx=tの平面で切った面積になるとは思えないのですが。
どなたか、ご教授お願い致します。

360×340 => 250×236

image01.GIF/5KB

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■20480 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 体積

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□投稿者/ 白拓大御所(670回)-(2006/12/30(Sat) 22:54:45)

2006/12/31(Sun) 07:09:15 編集(投稿者)

> (2)で、解説には、図の色を塗った部分の面積を求めて、それを0→1で積分しているのですが、
> この立体をx=tで切った切り口が、あそこの色を塗った部分の面積になる理由がわかりません。

Sと平面x=yが囲む部分の体積Vは、
x=tで切った切り口では平面x=yはx=y=tです。y=f(z)とy=tで囲まれた面積を
tについて積分すればx方向に積分したことになり、Vがもとまります。

S(t)=∫[0～4(1-t)]t-t(1-√{z/(1-t)})^2dz=(8/3)t(1-t)
V(t)=∫[0～1]S(t)dt=∫[0～1](8/3)t(1-t)dt=4/9

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■20506 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 体積

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□投稿者/ satsuma 一般人(4回)-(2006/12/31(Sun) 20:27:25)

> Sと平面x=yが囲む部分の体積Vは、
> x=tで切った切り口では平面x=yはx=y=tです。y=f(z)とy=tで囲まれた面積を
> tについて積分すればx方向に積分したことになり、Vがもとまります。
よくわかりました。。ｘがtのとき、yもtになっていると言うことなのですね。。
理解できました。有難うございました。

解決済み!

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