 | ■No20431に返信(mathさんの記事)
> 自然数ｎに対して、I[n]＝∫[0→n]x^3*e^-x^2*dx(n=1,2・・・・・）とおく。
> （１）t=x^2とおくことでI[n]を求めよ。
I[n]=1-(n^2+1)・e^(-n^2)
> （２）x*e^-x≦4/x*e^2(x>0)を示せ。
x>0 で x^2・e^(-x)≦4/e^2 を示せばよい。
f(x)=x^2・e^(-x) とおくと、増減表より最大値が f(4)=4・e^(-2) になる。
> （３）lim[x→∞]I[n]を求めよ。
lim[n→∞] I[n]=lim[n→∞] {1-(n^2+1)・e^(-n^2)}=lim[n→∞] {1-n^2・e^(-n^2)-e^(-n^2)}
ここで(2)より x・e^(-x)≦4/(x・e^2) から (0＜)n^2・e^(-n^2)≦4/(n^2・e^2) で
lim[n→∞] 4/(n^2・e^2)=0
はさみうちの原理より、lim[n→∞] n^2・e^(-n^2)=0
また、lim[n→∞] e^(-n^2)=0
以上より、lim[n→∞] I[n]=1
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