数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 極限 / Page: 0]

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■20218 / inTopicNo.1)

　極限

□投稿者/ やまとも付き人(51回)-(2006/12/23(Sat) 22:12:08)

曲線C:y=1/x^2上にx(1)=1＞x(2)＞x(3)＞・・・＞x(n)＞・・・＞0となるように
点P(1){x(1),y(1)},P(2){x(2),y(2)}・・・P(n){x(n),y(n)}をとる。
原点をOとし、曲線Cと2つの線分OP(n),OP(n+1)で囲まれた図形の面積をS(n)とする。
（１）S(n)をx(n)とx(n+1)を用いて表せ。
（２）数列｛S(n)｝(n=1,2,・・・）が初項１、公比2/3の等比数列をなすとき、
　　　ｎを限りなく大きくすると、{x(n),y(n)}はどのような点に近付くか。
　　　その点の座標を求めよ。

（１）は3/2{1/x(n+1)-1/x(n)}となったのですが、ここまではあっているのでしょうか？あと（２）はどーしたらいいのでしょうか？？
(2/3)^n=1/x(n+1)-1/x(n)からどう進めばいいのでしょうか？？

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■20219 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン一般人(38回)-(2006/12/23(Sat) 22:41:24)

やまもとさん，こんばんわ．

> 曲線C:y=1/x^2上にx(1)=1＞x(2)＞x(3)＞・・・＞x(n)＞・・・＞0となるように
> 点P(1){x(1),y(1)},P(2){x(2),y(2)}・・・P(n){x(n),y(n)}をとる。
> 原点をOとし、曲線Cと2つの線分OP(n),OP(n+1)で囲まれた図形の面積をS(n)とする。
> （１）S(n)をx(n)とx(n+1)を用いて表せ。

えぇ～と，これに関しては， $2$P_{n}$ から $2$x$ 軸にへ下ろした垂線の足を $2$H_{n}$ とすると，
$2$ S_{n} \\ = \triangle{OP_{n}H_{n}}+\displaystyle\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}\frac{1}{x^{2}}dx-\triangle{OP_{n+1}H_{n+1}} \\ =\frac{1}{2}x_{n}\frac{1}{x_{n}^{2}}+[-\frac{1}{x}]_{x_{n}}^{x_{n+1}}-\frac{1}{2}x_{n+1}\frac{1}{x_{n+1}^{2}} \\ =\frac{1}{2x_{n}}+\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{2x_{n+1}} \\ =\frac{3}{2}\left(\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}}\right)$
となりますので，やまもとさんのご回答の通りでよろしいかと思います．

> （２）数列｛S(n)｝(n=1,2,・・・）が初項１、公比2/3の等比数列をなすとき、
> 　　　ｎを限りなく大きくすると、{x(n),y(n)}はどのような点に近付くか。
> 　　　その点の座標を求めよ。
>
>
> （１）は3/2{1/x(n+1)-1/x(n)}となったのですが、ここまではあっているのでしょうか？あと（２）はどーしたらいいのでしょうか？？
> (2/3)^n=1/x(n+1)-1/x(n)からどう進めばいいのでしょうか？？

これに関しては，
$2$ S_{n} = \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$
ですので，
$2$ \frac{3}{2}\left(\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}}\right) =\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \\ \Longleftrightarrow \frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{n}$
より， $2$z_{n}\equiv 1/x_{n}$ とおくと，
$2$ z_{n+1}-z_{n} = \left(\frac{2}{3}\right)^{n}$
よって階差数列の公式から，
$2$ z_{n} \\ =z_{1} + \sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{2}{3}\right)^{n} \\ =\frac{1}{x_{1}} + \frac{2}{3}\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}}{1-\left(\frac{2}{3}\right)} \\ =\frac{1}{x_{1}}+2\left\{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right\}$
となり，
$2$ \lim_{n\to\infty}z_{n} \\ = \frac{1}{x_{1}}+2 \\ = \frac{2x_{1}+1}{x_{1}} \\ \therefore \lim_{n\to\infty}x_{n} = \frac{x_{1}}{2x_{1}+1} = \frac{1}{3}$
また，
$2$ \lim_{n\to\infty}y_{n} = \frac{1}{(1/3)^{2}} = 9$
以上より，点 $2$\displaystyle\left(\frac{1}{3},9\right)$ に近づく．．．

ってな感じかと思います．

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■20220 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 極限

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□投稿者/ やまとも付き人(52回)-(2006/12/23(Sat) 23:25:15)

ウルトラマンさんありがとうございました！
今からもう一度自分でやってみます。

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