 | ■No20000に返信(ぷーさんの記事)
> ｆ(x)=x^3-x^2とする。曲線y=f(x)上の点A(1,0)における接線が再びこの曲線と
> 交わる点をBとする。曲線y=ax^2+bx+cと曲線y=f(x)が点A,Bを共有し、さらに
> AとBの間にもう一つ共有点を持つとき、この２曲線の囲む部分の面積を求めよ。
> また、その面積が最小となるようにa,b,cを定めよ。
点A(1,0)における接線は y=x-1 で B(-1,-2) になる。
y=ax^2+bx+c に (1,0),(-1,-2) を代入して、b=1, c=-a-1 よって y=ax^2+x-a-1=g(x) とおける。
y=f(x) と y=g(x) の交点は、f(x)=g(x) として (x-1)(x+1){x-(a+1)}=0 から x=-1,1,a+1 で
AとBの間にもう一つ共有点を持つより、-1＜a+1＜1。
この２曲線の囲む部分の面積は
∫[-1,a+1] {f(x)-g(x)} dx + ∫[a+1,1] {g(x)-f(x)} dx 以下 a+1=A とおいて
=-1/6・A^4+A^2+1/2 = h(A) とおく。
-1＜A＜1 の範囲で y=h(A) の増減表から、A=0 で面積最小となる。
|
