数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 確率論 / Page: 0]

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■19969 / inTopicNo.1)

　確率論

□投稿者/ ハル一般人(23回)-(2006/12/13(Wed) 12:34:45)

確率変数X,Yについて次のことが言える
①E[X+Y]=E[X]+E[Y]
E[cX]=cE[X]
②V[X+Y]=V[X]+V[Y](X,Yが独立の場合)
V[cX]=c^2*V[X]
これらを導出し、標本平均の平均と分散を導出せよ。

この問題がわからないのでわかる方お願いします。

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■19972 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 確率論

▲▼■

□投稿者/ サボテン付き人(57回)-(2006/12/13(Wed) 13:21:02)

2006/12/13(Wed) 14:54:48 編集(投稿者)

私は測度論に詳しくないので、期待値の定義式については式を書くのにとどめます。

①期待値の線形性を示します。Xを確率変数、dPを確率測度とすると、
　E[X]=∫_{Ω}X(ω)dP(ω)で期待値は定義されます。

　右辺は線形作用素なので、
　E[X+Y]=E[X]+E[Y]
　E[cX]=cE[X]
　が成り立ちます。

②V[X]≡E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-(E[X])^2です。
X,Yが独立ならばE[XY]=E[X]E[Y]・・・*が成り立ちます。
　よってV[X+Y]=E[(X+Y)^2]-[E(X+Y)]^2
=V[X]+V[Y]+2(E[XY]-E[X]E[Y])　　
　*より、V[X+Y]=V[X]+V[Y]

V[X]=E[X^2]-(E[X])^2
より、X→cXと置き換えて
　V[cX]=c^2E[X^2]-c^2(E[X])^2=c^2V[X]

>標本平均の平均と分散を導出せよ。
これについては標本がないので、導出できませんでした。

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■19991 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 確率論

▲▼■

□投稿者/ ハル一般人(24回)-(2006/12/14(Thu) 14:44:34)

■No19972に返信(サボテンさんの記事)
> 2006/12/13(Wed) 14:54:48 編集(投稿者)
>
> 私は測度論に詳しくないので、期待値の定義式については式を書くのにとどめます。
>
> ①期待値の線形性を示します。Xを確率変数、dPを確率測度とすると、
> 　E[X]=∫_{Ω}X(ω)dP(ω)で期待値は定義されます。
>
> 　右辺は線形作用素なので、
> 　E[X+Y]=E[X]+E[Y]
> 　E[cX]=cE[X]
> 　が成り立ちます。
>
> ②V[X]≡E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-(E[X])^2です。
> X,Yが独立ならばE[XY]=E[X]E[Y]・・・*が成り立ちます。
> 　よってV[X+Y]=E[(X+Y)^2]-[E(X+Y)]^2
> =V[X]+V[Y]+2(E[XY]-E[X]E[Y])　　
> 　*より、V[X+Y]=V[X]+V[Y]
>
> V[X]=E[X^2]-(E[X])^2
> より、X→cXと置き換えて
> 　V[cX]=c^2E[X^2]-c^2(E[X])^2=c^2V[X]
>
ここまで教えていただいたら最後までできました！！
ありがとうございます☆

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