数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 直交変換 / Page: 0]

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■19938 / inTopicNo.1)

　直交変換

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□投稿者/ digi 付き人(66回)-(2006/12/12(Tue) 00:19:06)

直交変換を証明したいのですが、 $2$^tAA=E$ を証明すれば、 $2$A^tA=E$ を証明したことになるのでしょうか？

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■19944 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 直交変換

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□投稿者/ 白拓大御所(600回)-(2006/12/12(Tue) 01:18:40)

$2$^tAA=E$ → $2$^tA=A^{-1}$
左から $2$A$ を掛けると、
$2$A^tA=E$

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■19945 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 直交変換

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□投稿者/ digi 付き人(67回)-(2006/12/12(Tue) 01:22:36)

AX=EのときXはAの逆行列といえるのですか？XA=Eは証明しなくてもいいのですか？

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■19948 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 直交変換

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□投稿者/ 白拓大御所(605回)-(2006/12/12(Tue) 02:58:24)

2006/12/12(Tue) 03:04:33 編集(投稿者)

> AX=EのときXはAの逆行列といえるのですか？

上の私の投稿では $2$A$ は正方行列として扱いました。
$2$|^tAA|=|A|^2$
$2$|E|=1$
したがって、 $2$|A|\neq0$ であり正則なので $2$A^{-1}$ が存在します。
これを使いました。

$2$A$ が正方行列のときは成り立ちますが、正方行列でない場合n×m (n≠m)の大きさの行列だとすると、下のような反例があります。
$2$^tAA$ はm×m, $2$A^tA$ はn×n の大きさなのでたとえ成り立っても大きさの違うEになります。

　反例：　
$2$ A= \left( {\begin{array} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array}} \right)$

$2$^tAA= \left( {\begin{array} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}} \right)$ , $2$A^tA= \left( {\begin{array} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}} \right)$

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■19953 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 直交変換

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□投稿者/ digi 付き人(69回)-(2006/12/12(Tue) 16:10:21)

■No19948に返信(白拓さんの記事)
> 2006/12/12(Tue) 03:04:33 編集(投稿者)
>
>>AX=EのときXはAの逆行列といえるのですか？
>
> 上の私の投稿では $2$A$ は正方行列として扱いました。
> $2$|^tAA|=|A|^2$
> $2$|E|=1$
> したがって、 $2$|A|\neq0$ であり正則なので $2$A^{-1}$ が存在します。
> これを使いました。
>
　私もAは正方行列のつもりで質問させていただきました。
でも、上の説明が今いちよく分かりません。
> $2$|^tAA|=|A|^2$
> $2$|E|=1$
が成り立つときに、
> $2$|A|\neq0$ であり正則なので $2$A^{-1}$ が存在します
というのが良く分かりません。解説してもらえますか？

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■19960 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 直交変換

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□投稿者/ 白拓大御所(608回)-(2006/12/13(Wed) 04:59:44)

ある正方行列 $2$A$ , $2$B$ に対して、 $2$|AB|=|A|*|B|$ が成り立つ。
また $2$|A|=|^tA|$ が成り立つ。

$2$^tAA=E$ の両辺行列式は等しいから
$2$|^tAA|=|E|=1$ → $2$|A|^{2}=1$
$2$|A|\neq0$ ⇔ $2$A$ は正則⇔ $2$A^{-1}$ が存在する。

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■19986 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 直交変換

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□投稿者/ digi 付き人(70回)-(2006/12/14(Thu) 01:02:01)

納得です！どうもありがとうございました！

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