 | ■No18610に返信(sunさんの記事)
> もう一問お願いします;;
>
> f(x)=x/(x^2-x+1)とする。
> F(x)=∫[0→x]f(t)dtとおくと0<x<1を満たす全てのxについて、F(x)/x<F(1)がなりたつことを証明せよ。
区間(0,1)で
F'(x) = f(x) = x/(x^2-x+1) = x/{(x-1/2)^2+3/4} > 0 より、F(x)は単調増加。
F''(x)=-(x+1)(x-1)/(x^2-x+1)^2 > 0 より、F(x)のグラフは下に凸。
F(0) = 0 に留意して、グラフより 0<x<1 を満たす全てのxについて
{F(x)-F(0)}/(x-0) < {F(1)-F(0)}/(1-0) …※
よって、F(x)/x < F(1)
※ O(0,0), P(x,F(x)), A(1,F(1)) とおくと
不等式は 線分OPの傾き＜線分OAの傾き を表す。
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