数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 積分 / Page: 0]

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■18078 / inTopicNo.1)

　積分

□投稿者/ digi 一般人(41回)-(2006/10/14(Sat) 00:21:36)

　f(x)=1/(1+x^2)を積分するときに、t=1+x^2とおくと、
$2$\displaystyle\int f(x) dx=\displaystyle\int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{2x}$
ですが、xが残っていてはいけないのでしょうか。このまま計算してしまえば、間違いですが、どうして間違いとなるのでしょうか？

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■18080 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分

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□投稿者/ miyup 大御所(802回)-(2006/10/14(Sat) 00:42:45)

■No18078に返信(digiさんの記事)
> 　f(x)=1/(1+x^2)を積分するときに、t=1+x^2とおくと、
> $2$\displaystyle\int f(x) dx=\displaystyle\int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{2x}$
> ですが、xが残っていてはいけないのでしょうか。このまま計算してしまえば、間違いですが、どうして間違いとなるのでしょうか？

xはtの関数なので、tで積分するときに定数扱いにはなりません。

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■18091 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 積分

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□投稿者/ 青海付き人(69回)-(2006/10/14(Sat) 12:53:35)

2006/10/14(Sat) 15:47:41 編集(投稿者)

■No18078に返信(digiさんの記事)
> 　f(x)=1/(1+x^2)を積分するときに、t=1+x^2とおくと、
> $2$\displaystyle\int f(x) dx=\displaystyle\int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{2x}$
> ですが、xが残っていてはいけないのでしょうか。このまま計算してしまえば、間違いですが、どうして間違いとなるのでしょうか？

。。。それ以前に、この式違ってますよ。
$2$\displaystyle\int f(x) dx=\displaystyle\int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{2x}$

$2$dx = \frac{dx}{dt}dt$ 、 $2$\frac{dx}{dt} = \pm \frac{1}{2\sqrt{t-1}}$
$2$\displaystyle\int \frac{1}{t} \cdot \pm \frac{1}{2\sqrt{t-1}} dt$

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■18116 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 積分

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□投稿者/ digi 一般人(44回)-(2006/10/15(Sun) 00:23:53)

$2$t=1+x^2$ とおいて両辺をxで微分すると、
$2$\frac{dt}{dx}=2x$
$2$dx=\frac{dt}{2x}$
ではないですか？

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■18117 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 積分

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□投稿者/ miyup 大御所(808回)-(2006/10/15(Sun) 00:30:30)

■No18116に返信(digiさんの記事)
> $2$t=1+x^2$ とおいて両辺をxで微分すると、
> $2$\frac{dt}{dx}=2x$
> $2$dx=\frac{dt}{2x}$
> ではないですか？

置換積分では、ｘを全てｔに置き換えなければなりません。（ｄｘはｄｔに。定積分では積分範囲も）
ｘが残っているのは変形として不完全です。さらにｘ＝±√(ｔ－１) と置かなければなりません。

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■18118 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 積分

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□投稿者/ 青海付き人(71回)-(2006/10/15(Sun) 01:04:08)

■No18116に返信(digiさんの記事)
> $2$t=1+x^2$ とおいて両辺をxで微分すると、
> $2$\frac{dt}{dx}=2x$
> $2$dx=\frac{dt}{2x}$
> ではないですか？

。。ごめんなさいあってました。普段やらないので（言い訳）

もう少し正確に書くと、

$2$\displaystyle\int f(x) dx=\displaystyle\int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{2x(t)}$

なので、式の意味としては違ってないですね。（屁理屈っぽいですけど）

う～ん、平たく言うと、

$2$\displaystyle\int f(x) dx$ を $2$\displaystyle\int f dx$ と書いて、f と x は違うから、積分の結果が変わってくる、と考えてるわけですね。

皮肉っぽくてごめんなさい。、、、皮肉ついでに、“時間があるなら”いろんな角度から問題を眺めて、参考書にないような解き方を捜してみるのも良いと思いますが、他にやることたくさんあるんじゃないですか？　基礎が出来て初めて応用が出来るんだと思います。

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■18138 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 積分

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□投稿者/ digi 一般人(45回)-(2006/10/15(Sun) 17:19:55)

私としては、適当に問題を作ってわざとxが残るように変形しました。それで、どうしてxが残っていてはいけないのかをお尋ねしたかったのですが・・・。

xは確かに変数ですが、∫…dtにおいては、…の部分にxがあってもそれは定数扱いとして積分しても、理論的には間違っていないような気がするのですが・・。

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■18149 / inTopicNo.8)

　Re[5]: 積分

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□投稿者/ miyup 大御所(810回)-(2006/10/15(Sun) 21:34:15)

2006/10/15(Sun) 21:36:04 編集(投稿者)

■No18138に返信(digiさんの記事)
> xは確かに変数ですが、∫…dtにおいては、…の部分にxがあってもそれは定数扱いとして積分しても、

ｘがｔの関数ならば、ｔで積分する場合には定数扱いできません。
ｘがｔの関数でなければ、ｔで積分する場合には定数扱いできます。

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■18216 / inTopicNo.9)

　Re[6]: 積分

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□投稿者/ digi 一般人(46回)-(2006/10/17(Tue) 20:39:15)

分かりました、どうもありがとうございました！

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