数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 至急教えてください / Page: 0]

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■18030 / inTopicNo.1)

　至急教えてください

□投稿者/ りんご一般人(1回)-(2006/10/12(Thu) 20:38:19)

①x,y,x1,y1,...を群Gの元とし、Gの元aを固定して考えるとき、
写像fa:G→G,fa(x)=axは全単射であることを示せ。

②集合G=Q-{1}(ここでのマイナス記号は差集合の意味）はxoy=x+y-xyに関して可換群となることを示せ。

この二つの問題がわかりません。至急教えていただけませんか？？

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■18035 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 至急教えてください

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□投稿者/ KINO 軍団(145回)-(2006/10/12(Thu) 22:11:07)

(1) 単射であること，全射であること，いずれも a の逆元が存在することを用いれば示せます。

(2) 演算 o の可換性は明らか。単位元は 0. x∈G の逆元の存在は，0=x+y-xy を満たす y であり，x≠0 なので必ずこの方程式を y について解くことができることから示せます。

取り急ぎ概略まで。

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■18046 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 至急教えてください

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□投稿者/ りんご一般人(2回)-(2006/10/13(Fri) 00:31:07)

ありがとうございます。なんとかやってみます！！

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■18074 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 至急教えてください

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□投稿者/ 数樂一般人(29回)-(2006/10/13(Fri) 22:17:43)

もう解決してそうだけど（１）だけ・・・

この写像　fa　によるGの像　｛fa(x)｜x∈G｝　を　aG　で表すことにします。
すなわち
　　aG＝｛fa(x)｜x∈G｝＝｛a*x｜x∈G｝
　
（ⅰ）fa　が全射である事
　aG＝G　を示せばよい。ここで、aG⊂G　は明らかだから
　G⊂aG　を示す。
　　∀x∈G　に対して　a^(-1)*x＝y　･･････[1]　とおくと　y∈G
　　[1]の両辺に左から　a　を掛けると
　　　　a*a^(-1)*x＝a*y　
　　　　x＝a*y
　　よって　fa(y)＝x　であるから　x∈aG
　　従って　G⊂aG

（ⅱ）fa　が単射である事
　　∀x1x2∈Gに対して　fa(x1)＝fa(x2)　とすると　fa　の定義から
　　　　　a*x1＝a*x2
　　両辺に左からa^(-1)を掛けると
　　　　　a^(-1)*a*x1＝a^(-1)*a*x2
　　　　　x1＝x2

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