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■18030
/ inTopicNo.1)
至急教えてください
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□投稿者/ りんご
一般人(1回)-(2006/10/12(Thu) 20:38:19)
@x,y,x1,y1,...を群Gの元とし、Gの元aを固定して考えるとき、
写像fa:G→G,fa(x)=axは全単射であることを示せ。
A集合G=Q-{1}(ここでのマイナス記号は差集合の意味)はxoy=x+y-xyに関して可換群となることを示せ。
この二つの問題がわかりません。至急教えていただけませんか??
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■18035
/ inTopicNo.2)
Re[1]: 至急教えてください
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□投稿者/ KINO
軍団(145回)-(2006/10/12(Thu) 22:11:07)
(1) 単射であること,全射であること,いずれも a の逆元が存在することを用いれば示せます。
(2) 演算 o の可換性は明らか。単位元は 0. x∈G の逆元の存在は,0=x+y-xy を満たす y であり,x≠0 なので必ずこの方程式を y について解くことができることから示せます。
取り急ぎ概略まで。
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■18046
/ inTopicNo.3)
Re[2]: 至急教えてください
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□投稿者/ りんご
一般人(2回)-(2006/10/13(Fri) 00:31:07)
ありがとうございます。なんとかやってみます!!
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■18074
/ inTopicNo.4)
Re[1]: 至急教えてください
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□投稿者/ 数樂
一般人(29回)-(2006/10/13(Fri) 22:17:43)
もう解決してそうだけど(1)だけ・・・
この写像 fa によるGの像 {fa(x)|x∈G} を aG で表すことにします。
すなわち
aG={fa(x)|x∈G}={a*x|x∈G}
(@)fa が全射である事
aG=G を示せばよい。ここで、aG⊂G は明らかだから
G⊂aG を示す。
∀x∈G に対して a^(-1)*x=y ・・・・・・[1] とおくと y∈G
[1]の両辺に左から a を掛けると
a*a^(-1)*x=a*y
x=a*y
よって fa(y)=x であるから x∈aG
従って G⊂aG
(A)fa が単射である事
∀x1x2∈Gに対して fa(x1)=fa(x2) とすると fa の定義から
a*x1=a*x2
両辺に左からa^(-1)を掛けると
a^(-1)*a*x1=a^(-1)*a*x2
x1=x2
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