数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 非同次1階線形常微分方程式の解き方 / Page: 0]

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■17878 / inTopicNo.1)

　非同次1階線形常微分方程式の解き方

□投稿者/ MiwaYamada 一般人(1回)-(2006/10/07(Sat) 16:20:12)

こんにちは。

y=f(x)において、f(π)=1でdy/dx+y/x=sinxの時、f(π/2)の値は?
という問題を解いています｡

dy/dx+y/x=sinxは非同次1階線形常微分方程式ですよね。
なので一般解は
y=exp(-∫dx/x)(∫sinx・exp(∫dx/x)+C)　(Cは任意定数)
と書けると思います｡これを展開して
=exp(-log|x|+C1){∫sinx・exp(log|x|+C2)+C} (C1,C2は任意定数)
=C1|x|{C2∫|x|sinx+C}
=C1C2|x|{∫|x|(-cosx)'+C}
=C1C2|x|{-|x|cosx+∫cosx+C} (∵部分積分法)
=C1C2|x|{-|x|cosx+sinx+C}

とここままで来たのですがf(π)=1だけでは
C,C1,C2が定まりません｡

どうすればいいのでしょうか?

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■17882 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 非同次1階線形常微分方程式の解き方

▲▼■

□投稿者/ 青海付き人(65回)-(2006/10/07(Sat) 23:32:39)

2006/10/07(Sat) 23:35:20 編集(投稿者)

■No17878に返信(MiwaYamadaさんの記事)
> こんにちは。
>
> y=f(x)において、f(π)=1でdy/dx+y/x=sinxの時、f(π/2)の値は?
> という問題を解いています｡
>
> dy/dx+y/x=sinxは非同次1階線形常微分方程式ですよね。
> なので一般解は
> y=exp(-∫dx/x)(∫sinx・exp(∫dx/x)+C)　(Cは任意定数)
> と書けると思います｡これを展開して
> =exp(-log|x|+C1){∫sinx・exp(log|x|+C2)+C} (C1,C2は任意定数)

一般解は、dy/dx + P(x)y = Q(x) の両辺に、exp(∫P(x)dx)を掛けるところからきているので、C1、C2 はいらないです。

> =C1|x|{C2∫|x|sinx+C}

一般解の最初の exp の肩はマイナスなので、y = 1/|x|・{∫|x|sinx+C} です。

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■17887 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 非同次1階線形常微分方程式の解き方

▲▼■

□投稿者/ MiwaYamada 一般人(2回)-(2006/10/08(Sun) 09:20:13)

有り難うございます｡

>> dy/dx+y/x=sinxは非同次1階線形常微分方程式ですよね。
>> なので一般解は
>> y=exp(-∫dx/x)(∫sinx・exp(∫dx/x)+C)　(Cは任意定数)
>> と書けると思います。これを展開して
>> =exp(-log|x|+C1){∫sinx・exp(log|x|+C2)+C} (C1,C2は任意定数)
> 一般解は、dy/dx + P(x)y = Q(x) の両辺に、exp(∫P(x)dx)を掛けるところからきて
> いるので、C1、C2 はいらないです。
うーん、いまいち分かりません｡
下記では何処から間違っているのでしょうか?
y=exp(-∫dx/x)(∫sinx・exp(∫dx/x)dx+C)　(Cは任意定数)
=exp(-log|x|+C1){∫sinx・exp(log|x|+C2)dx+C} (C1,C2は任意定数)
=C1/|x|{C2∫|x|sinxdx+C}
=C1/|x|{C2∫|x|(-cosx)'+C}
=C1/|x|{C2(-|x|cosx+∫cosx)+C} (∵部分積分法)
=C1/|x|{C2(-|x|cosx+sinx+C3)+C}
=-C1C2cosx+C1C2sinx/|x|+(C1C2C3+C1C2C)/|x|
=-Ccosx+Csinx/|x|+C'/|x|

> > =C1|x|{C2∫|x|sinx+C}
> 一般解の最初の exp の肩はマイナスなので、y = 1/|x|・{∫|x|sinx+C} です。
そうでした。失礼致しました｡

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■17928 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 非同次1階線形常微分方程式の解き方

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□投稿者/ 青海付き人(66回)-(2006/10/09(Mon) 00:51:04)

2006/10/09(Mon) 10:36:15 編集(投稿者)

> うーん、いまいち分かりません｡
> 下記では何処から間違っているのでしょうか?
> y=exp(-∫dx/x)(∫sinx・exp(∫dx/x)dx+C)　(Cは任意定数)
> =exp(-log|x|+C1){∫sinx・exp(log|x|+C2)dx+C} (C1,C2は任意定数) ←　ここから
C1,C2 が余分です。

一般式 dy/dx + P(x)y = Q(x) の両辺に exp(∫P(x)dx + C') = exp(∫P(x)dx)exp(C') を掛けると、定数項が消えてくれるので、この場合は積分定数（C1、C2）はいらないです。（Cは要ります）

それ以外はいいと思います。

念のため、一般解の導出方法です。
dy/dx + P(x)y = Q(x)
dy/dx・exp(∫P(x)dx) + P(x)y・exp(∫P(x)dx) = Q(x)・exp(∫P(x)dx) ← ここで定数項が消える
d/dx{y・exp(∫P(x)dx)} = Q(x)・exp(∫P(x)dx)
両辺を積分
y・exp(∫P(x)dx) = ∫Q(x)・exp(∫P(x)dx)dx + C
y = exp(-∫P(x)dx){∫Q(x)・exp(∫P(x)dx)dx + C}

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■17929 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 非同次1階線形常微分方程式の解き方

▲▼■

□投稿者/ MiwaYamada 一般人(3回)-(2006/10/09(Mon) 10:36:40)

ご回答有り難うございます｡
何度もスイマセン｡

>> y=exp(-∫dx/x)(∫sinx・exp(∫dx/x)dx+C)　(Cは任意定数)
>> =exp(-log|x|+C1){∫sinx・exp(log|x|+C2)dx+C} (C1,C2は任意定数) ←　
> ここから
> C1,C2 が余分です。
うーん、ちょっと考え中です｡

> 一般式 dy/dx + P(x)y = Q(x) の両辺に exp(∫P(x)dx + C') =
> exp(∫P(x)dx)exp(C') を掛けると、定数項が消えてくれるので、積分定数（C1、
> C2）はいらないです。（Cは要ります）
消えるという事は分かりますが。。

> 念のため、一般解の導出方法です。
> dy/dx + P(x)y = Q(x)
> dy/dx・exp(∫P(x)dx) + P(x)y・exp(∫P(x)dx) = Q(x)・exp(∫P(x)dx)
> d/dx{y・exp(∫P(x)dx)} = Q(x)・exp(∫P(x)dx)
> 両辺を積分
> y・exp(∫P(x)dx) = ∫Q(x)・exp(∫P(x)dx)dx + C
> y = exp(-∫P(x)dx){∫Q(x)・exp(∫P(x)dx)dx + C}
で、ここかから積分部分を展開するとやはりC以外に任意定数が現われてしまいますよね?

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■17932 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 非同次1階線形常微分方程式の解き方

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□投稿者/ 青海付き人(67回)-(2006/10/09(Mon) 12:27:18)

>> y = exp(-∫P(x)dx){∫Q(x)・exp(∫P(x)dx)dx + C}
> で、ここかから積分部分を展開するとやはりC以外に任意定数が現われてしまいますよね?

う～ん、、、この公式の積分は定数項を含んでいるので、追加する必要はないです。

ちょっと説明を変えます。
まず、exp(∫P(x)dx) の積分で出てくる C1 C2(C1 = C2) は同じ、、というのはいいですか？
（同じ関数を積分したら出てくる定数も同じはずですよね）

y = exp(-∫P(x)dx - C1){∫Q(x)・exp(∫P(x)dx + C1)dx + C}
y = exp(-∫P(x)dx)exp(-C1){∫Q(x)・exp(∫P(x)dx)exp(C1)dx + C}
y = exp(-∫P(x)dx){∫Q(x)・exp(∫P(x)dx)dx + C・exp(-C1)}

C・exp(-C1) = C' と置くと
y = exp(-∫P(x)dx){∫Q(x)・exp(∫P(x)dx)dx + C'}

C' には exp(∫P(x)dx) の定数も含んでいるので、積分してから追加する必要はないです。

見落としですが、
>=C1/|x|{C2∫|x|sinxdx+C} ← ここも違います。
= 1/(C1|x|){C1∫|x|sin(x)dx + C}
= 1/|x|{∫|x|sin(x)dx + C/C1}

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■17951 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 非同次1階線形常微分方程式の解き方

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□投稿者/ MiwaYamada 一般人(4回)-(2006/10/10(Tue) 14:27:26)

> ちょっと説明を変えます。
> まず、exp(∫P(x)dx) の積分で出てくる C1 C2(C1 = C2) は同じ、、というのはいい
> ですか？
> （同じ関数を積分したら出てくる定数も同じはずですよね）
> y = exp(-∫P(x)dx - C1){∫Q(x)・exp(∫P(x)dx + C1)dx + C}
> y = exp(-∫P(x)dx)exp(-C1){∫Q(x)・exp(∫P(x)dx)exp(C1)dx + C}
> y = exp(-∫P(x)dx){∫Q(x)・exp(∫P(x)dx)dx + C・exp(-C1)}
> C・exp(-C1) = C' と置くと
> y = exp(-∫P(x)dx){∫Q(x)・exp(∫P(x)dx)dx + C'}
> C' には exp(∫P(x)dx) の定数も含んでいるので、積分してから追加する必要はない
> です。
納得です｡
=exp(-∫dx/x){∫(sinx)exp(∫dx/x)dx+C}
=exp(-log|x|-C1){∫(sinx)exp(log|x|+C1)dx+C}
=exp(-log|x|)exp(-C1){∫(sinx)exp(log|x|)exp(C1)dx+C}
=exp(-log|x|){∫(sinx)exp(log|x|)exp(-C1)exp(C1)dx+C}
=exp(-log|x|){∫(sinx)exp(log|x|)dx+C}
となるのですね。。。

どうも有り難うございました｡

> 見落としですが、
> >=C1/|x|{C2∫|x|sinxdx+C} ← ここも違います。
> = 1/(C1|x|){C1∫|x|sin(x)dx + C}
> = 1/|x|{∫|x|sin(x)dx + C/C1}
了解いたしました｡有り難うございます｡

解決済み!

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