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非同次1階線形常微分方程式の解き方
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□投稿者/ MiwaYamada 一般人(1回)-(2006/10/07(Sat) 16:20:12)
 | こんにちは。
y=f(x)において、f(π)=1でdy/dx+y/x=sinxの時、f(π/2)の値は?
という問題を解いています｡
dy/dx+y/x=sinxは非同次1階線形常微分方程式ですよね。
なので一般解は
y=exp(-∫dx/x)(∫sinx・exp(∫dx/x)+C) (Cは任意定数)
と書けると思います｡これを展開して
=exp(-log|x|+C1){∫sinx・exp(log|x|+C2)+C} (C1,C2は任意定数)
=C1|x|{C2∫|x|sinx+C}
=C1C2|x|{∫|x|(-cosx)'+C}
=C1C2|x|{-|x|cosx+∫cosx+C} (∵部分積分法)
=C1C2|x|{-|x|cosx+sinx+C}
とここままで来たのですがf(π)=1だけでは
C,C1,C2が定まりません｡
どうすればいいのでしょうか?
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