数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: ３次方程式 / Page: 0]

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■17847 / inTopicNo.1)

　３次方程式

□投稿者/ ゆみ　高２一般人(6回)-(2006/10/06(Fri) 23:22:01)

・３次方程式ｘ＾３－（ａ＋１）ｘ＾２＋２ａｘ＋ｂ＝０（ａ、ｂは実数の定数）・・・①は、ｘ＝１を解にもつ。このとき、次の各問いに答えなさい。

（１）①が虚数解をもつとき、ａのとりうる値の範囲を求めよ。
（２）（１）のとき、①の２つの虚数解をα、βとする。
方程式ｘ＾２＋ｃｘ＋５ａ－６＝０の２つの解がα＾２＋β＾２、αβであるとき、
定数ｃの値を求めよ。

・・・・・という問題です。宜しくお願いします。

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■17849 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ３次方程式

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□投稿者/ miyup 大御所(789回)-(2006/10/06(Fri) 23:48:43)

2006/10/06(Fri) 23:49:41 編集(投稿者)

■No17847に返信(ゆみ　高２さんの記事)
> ・３次方程式ｘ＾３－（ａ＋１）ｘ＾２＋２ａｘ＋ｂ＝０（ａ、ｂは実数の定数）・・・①は、ｘ＝１を解にもつ。このとき、次の各問いに答えなさい。
>
> （１）①が虚数解をもつとき、ａのとりうる値の範囲を求めよ。

x=1 を方程式に代入して b=-a となるので、方程式は x^3-(a+1)x^2+2ax-a=0 (x-1)(x^2-ax+a)=0 となる。
これが虚数解を持つ⇔２次式の部分の判別式＜０より、D=(-a)^2-4a<0 a(a-4)<0 ∴0<a<4。

> （２）（１）のとき、①の２つの虚数解をα、βとする。
> 方程式ｘ＾２＋ｃｘ＋５ａ－６＝０の２つの解がα＾２＋β＾２、αβであるとき、
> 定数ｃの値を求めよ。

解と係数の関係より、α+β=a, αβ=a このとき α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=a^2-2a
方程式の２解の和 -c=a^2-2a+a=a^2-a　２解の積 5a-6=(a^2-2a)a より a=1,3 [←0<a<4]
このとき c=-a^2+a=0,-6。

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■17850 / inTopicNo.3)

　Re[1]: ３次方程式

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□投稿者/ U.T 一般人(36回)-(2006/10/06(Fri) 23:51:48)

(1)x=1を解にもつから代入して
1-(a+1)+2a+b=0
b=-a
(x-1)を因数にもつので
(x-1)(x^2-ax+a)=0
x^2-ax+aの判別式DがD＜0となる時虚数解をもつので
(-a)^2-4a<0
a(a-4)<0
∴0<a<4

(2)解と係数の関係より
α+β=αβ=a
またx^2+cx+5a-6=0についても同様に
(α^2+β^2)+αβ=-c,(α^2+β^2)αβ=5a-6
α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ
=a^2-2aから
二つめの式は
(a^2-2a)a=5a-6
a^3-2a^2-5a+6=0
(a-1)(a^2-a-6)=0
(a-1)(a-3)(a+2)=0
0<a<4よりa=1,3
c=-a^2+aから
∴c=0,-6

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■17853 / inTopicNo.4)

　Re[2]: ３次方程式

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□投稿者/ ゆみ　高２一般人(8回)-(2006/10/07(Sat) 00:02:19)

　 miyupさん、 U.Tさん、とても詳しい解説ありがとうございました！！
やっと理解することができました☆

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